定義在R的奇函數可以任性使用f（0）=0

孟維帥

利用f（0）=0求解奇函數中的待定系數已不是新鮮問題，眾所周知的是，如果函數在x=0處無定義，是不能用f（0）=0來求參的，如題目：函數f（x）+a為奇函數，求實數a的值.

就上述問題，不由讓筆者引起思考，倘若函數在x=0處有定義，一般的來說，定義在R上的奇函數難道就可以任性地使用

f（0）=0來求參嗎？筆者認為，結合具體實例來研究這個問題不失為一個好辦法.

例1 已知函數f（x）=a-為奇函數，求實數a的值.

解：因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以有f（0）=0，即a=0，解得a=.

由此可知a=函數f（x）確實是奇函數.

通過例1，發現定義在R上的奇函數可以任性的使用f（0）=0來求出參數a，但是一個例子的佐證似乎顯得有些蒼白，因此筆者再選一例來討論定義在R上的奇函數是否任性的使用f（0）=0來求參.

例2 已知函數y=為奇函數，求實數a的值.

解：顯然函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以有f（0）=0，即=0，解得a=±1.

當a=1時，函數f（x）=ex-e-x.

此時f（-x）=e-x-ex，顯然f（x）+f（-x）=0.

當a=-1時，函數f（x）=e-x-ex，

此時f（-x）=ex-e-x，顯然f（x）+f（-x）=0.

綜上，a=±1都會使得函數f（x）為奇函數.

例2似乎進一步鞏固了例1的說法，即定義在R的奇函數可利用f（0）=0來求解析式中的參數，討論也仿佛到了尾聲，結論好像已如磐石那般堅定，然而筆者卻始終心存疑慮，并開始尋找定義域為R的反例，最終尋得一例，并予以說明：

例3 已知函數f（x）=ax2+（a-1）x+a2-a（a∈R）為奇函數，求實數a的值.

解法一：不難看出，函數f（x）是定義域為R的奇函數，利用

f（0）=0可得a2-a=0，解得a=0或a=1.

當a=0時，f（x）=-x，此時f（-x）=x，于是f（x）+f（-x）=0，

由奇函數的定義可知，函數f（x）為奇函數.

當a=1時，f（x）=x2，此時f（-x）=f（x），函數f（x）為偶函數，而并非奇函數.

此例是以簡單的多項式函數來構造成功反例，推翻了定義在R的奇函數可任性使用f（0）=0來求解析式中的參數，例子雖然簡單但是足以說明問題，即使是定義在R上的奇函數，也不可以任性地使用f（0）=0來求參數.

通過對三道例題的分析，例1和例2說明f（0）=0確實是為求定義域為R上的奇函數中的參數問題提供了便利，但同時例3警示此類做法的風險，同時也指出此類方法檢驗的必要性.

例3的風險說明奇函數求參的保險手段便是奇函數的定義，即f（x）+f（-x）=0.在具體問題中可利用賦值簡化，如例3函數在x=1處有定義，令x=1，即f（1）+f（-1）=0可得a=0，避免了風險，而且此法還可利用到x=0處無定義的函數中，如文章開頭的例子就可以用此法求出a=.

編輯 魯翠紅