《等腰三角形》教學實錄與評析

蒙榜中 周忠

一、創設情境，引出課題

活動1.教師剪紙，請學生觀察圖形（見圖1）。教師把一張長方形的紙按圖中虛線對折，然后用剪刀沿著實線剪開，留下三角形部分，再把它展開。

師：這是一個什么三角形？為什么？

生：這是等腰三角形，因為AB=AC.

師：你怎么知道AB和AC的長度相等呢？

生1：因為△ABD≌△ACD，AB與AC是對應邊，所以AB=AC.

生2：因為AB與AC重合，所以它們的長度相等。

師：很好，請你們觀察圖形，折痕左右兩邊重合嗎？等腰三角形是軸對稱圖形嗎？

生：折痕左右兩邊重合，等腰三角形是軸對稱圖形。

師：你認識等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角嗎？（展示教具，學生回答）雖然前面我們學習了等腰三角形的知識，但是有關它的性質、判定都沒有涉及，這節課我們進一步學習等腰三角形。（板書：等腰三角形）

【評析】教學伊始，執教老師就創設情境，讓學生觀察老師的操作過程，得到研究對象——等腰三角形后，再請學生觀察圖形，回顧等腰三角形的相關概念如腰、底邊、頂角、底角以及等腰三角形的對稱性，引導學生學會觀察并發現問題，讓學生感受到重合即相等，為后面探究等腰三角形的性質奠定基礎。

二、實踐操作，發現性質

活動2：請學生用紙剪出一個等腰三角形。

師：仔細觀察剪好的等腰三角形，你發現這個等腰三角形有哪些線段相等？哪些角相等？

生獨立觀察，指出等腰三角形中相等的線段和相等的角。

師：請同桌之間互相交換等腰三角形，再次觀察，你發現等腰三角形有哪些線段相等？哪些角相等？說一說這些線段和角在等腰三角形中的名稱。

生1：等腰三角形的兩條腰相等。

生2：等腰三角形的兩個底角相等。

教師板書，等腰三角形的性質1：等腰三角形的兩個底角相等。簡寫為：等邊對等角。

【評析】教師讓學生通過操作、觀察、發現、歸納，得出等腰三角形的兩個底角相等這一性質，體現了學生的學習主體地位。這樣做有利于學生從研究一個等腰三角形拓展到其他等腰三角形，由特殊到一般，從而發現等腰三角形的特征，歸納得出等腰三角形的性質1：等腰三角形的兩個底角相等。

三、關注折痕，引出三線

教師在剪好的等腰三角形的折痕上畫一條虛線（見圖2），請學生仔細觀察等腰三角形，注意折痕，并思考還能發現哪些線段相等？哪些角相等？

學生先觀察圖形，然后分小組討論，最后展示分享結果。

生1：BD=CD.

生2：∠BAD=∠CAD.

生3：∠ADB=∠ADC.

師：假如BD=CD，那么AD與BC是什么關系呢？

生：AD是BC的中線。

師補充說明AD是等腰三角形底邊BC的中線。

師：剛才有位同學說∠BAD=∠CAD，想一想，AD與∠BAC是什么關系？

生：AD是∠BAC的平分線。

師補充說明AD是等腰三角形頂角∠BAC的平分線。

師：請同學們思考∠ADB=∠ADC等于多少度？為什么？

生：∠ADB=∠ADC=90°，因為∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC，所以∠ADB=∠ADC=90°.

師：AD與BC是什么關系？

生4：AD是BC邊上的高。

生5：AD是等腰三角形底邊BC上的高。

師：我們在表達線段的關系時要準確、完整，綜上所述，AD是等腰三角形的什么？

生：AD是等腰三角形底邊BC上的中線，是等腰三角形頂角∠BAC的平分線，是等腰三角形底邊BC上的高。

【評析】教師讓學生觀察、發現，然后準確全面地歸納出等腰三角形的性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡稱“三線合一”。

四、推理證明，驗證性質

題目：利用實驗操作的方法，我們發現并概括得出等腰三角形的性質1：等腰三角形的兩個底角相等。你能運用邏輯推理來證明這個命題嗎？

生：根據命題，我們可以畫出圖形（見圖3），寫出已知、求證。

已知：在△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C

教師引導學生思考：結合所畫的圖形，你認為證明兩個底角相等的思路是什么？如何在一個等腰三角形中構造出兩個全等三角形？從剪圖、折紙的過程中你能夠獲得什么啟發？

生1：我認為可以畫一條輔助線（見圖4），把三角形△ABC分為兩個三角形，通過證明兩個三角形全等，可以得到∠B=∠C.

證明：作底邊BC的中線AD，在△ABD與△ACD中，

因為：AB=AC

BD=CD

AD=AD

所以：△ABD≌△ACD（SSS）

∠B=∠C

師：這位同學使用的方法很正確，思路清晰，板書規范。請你們再想一想，還有別的證明方法嗎？請結合圖形說明你的思路。

生2：我的思路是作底邊BC上的高AD，然后運用“HL”證明直角三角形ADB與直角三角形ADC全等，從而得到∠B=∠C.

生3：我的思路是作頂角∠BAC的平分線AD，然后運用“SAS”證明△ABD與△ACD全等，從而得到∠B=∠C.

師：這3位同學的證明思路、推理方法都是對的。通過學習等腰三角形的性質，我們又掌握了證明兩個角相等、兩條線段相等以及線段互相垂直關系的新方法。

【評析】教師讓學生體驗證明兩個角相等到證明兩個三角形全等的過程，了解添加輔助線與解決問題思路的相關性，進一步理解等腰三角形的性質及意義——它既是三角形全等知識的運用和延續，又是證明兩個角相等、兩條線段相等、線段垂直關系的更為簡捷的途徑和方法。

五、解讀性質，注重表達

師：等腰三角形性質2的“三線合一”是指什么？對此，我們可以將其分解為下面3個結論：①等腰三角形的頂角平分線也是底邊上的中線和高；②等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線；③等腰三角形底邊上的高也是頂角平分線和底邊上的中線。

師： ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD

∴BD=CD，AD⊥BC

請同學們用符號語言表達第②、③兩個結論。

生1： ∵AB=AC，BD=CD

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

生2： ∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD，BD=CD

【評析】教師讓學生在反復比較的過程中概括得出等腰三角形共同的、本質的特征，進一步培養了學生運用數學語言符號進行表達的能力，使學生真正理解“三線合一”的含義。

六、學以致用，鞏固新知

（一）填空。

1.如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，則

∠B= .

2.如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，則

∠A= .

（二）自制水平儀。教師選用教學時用的等腰三角板一個，鉛垂一個，1米長的細繩一根，展示：用水平儀測量講臺是否處于水平狀態，請學生說明測量時用到了什么數學知識？學生回答，相互補充，并說明理由。

【評析】教師設計角度計算題，學生需要綜合運用等腰三角形、三角形的內角和等知識解決問題，這樣做有利于學生進一步掌握等腰三角形的性質1，同時引導學生將與角有關的知識系統化，有助于學生優化知識結構。此外，教師設計活動操作題，能夠讓學生體會到數學知識在生活中的實際應用，體現了學習數學的價值。

七、學會總結，提高更快

師：我們是如何探究等腰三角形的性質呢？

生：動手操作，通過觀察、發現、歸納性質，最后證明性質。

師：你學到了哪些證明線段相等或角相等的方法？

生1：在同一個三角形中，相等的邊所對應的角相等。

生2：根據“三線合一”的性質，等腰三角形底邊上的高（或頂角平分線）也是底邊上的中線，從而有線段相等。

生3：根據“三線合一”的性質，等腰三角形底邊上的高（或底邊上的中線）也是頂角平分線，從而有角相等。

【評析】通過小結，學生掌握了本節課所學的核心知識——等腰三角形的性質及應用。

【總評】這節課，學生在學習了三角形的基本概念、全等三角形和軸對稱知識的基礎上，進一步研究特殊的三角形——等腰三角形。學習目標是：探索并證明等腰三角形的兩個性質；能夠利用等腰三角形的性質證明兩個角相等或兩條線段相等；結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用。

為了達成教學目標，教師設計了“情境導入—引出概念—歸納性質—驗證性質—實際應用”等環節，并逐一展開教學，體現了以下幾個特點。第一，教學設計層次分明，以活動為主線，層層遞進，教學過程將觀察發現、歸納總結與證明性質有機地結合起來，讓學生經歷了知識的應用過程。第二，教學突出了數學思想，數學思想方法大多隱藏在知識的形成過程中，對新知的形成和發展起著重要的作用。比如，等腰三角形性質的證明過程是將欲證明相等的兩個角（或兩條線段）置于兩個全等三角形之中，這是證明兩個角相等或兩條線段相等的基本方法，學生動手操作，對折長方形紙片，留下的折痕把等腰三角形轉化為兩個三角形，而對等腰三角形性質的探索與證明體現了轉化的數學思想。第三，讓學生成為學習的主人。前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基指出：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、探索者。”在探索等腰三角形的性質時，教師引導學生利用軸對稱知識進行證明，借助軸對稱發現等腰三角形的性質，獲得了添加輔助線證明性質的方法。為了讓學生體驗操作過程，教師讓學生動手操作、觀察發現、合作交流、驗證探究、實際應用，為學生提供了充分的探索機會，幫助他們獲得數學知識的經驗，培養了學生觀察問題、思考問題、解決問題的能力，增強了學好數學的信心。第四，教師注重學用結合，讓學生體會到了數學與生活的緊密聯系，如自制水平儀的活動，使學生意識到數學就在身邊，體現了數學的實用價值，從而激發了學生學習數學的熱情。

（注：該課榮獲2015南寧市初中數學課堂教學優質課比賽一等獎。）

（責編 歐孔群）