折射率橢球主軸化方法探討

楊　青

(安徽大學 物理與材料科學學院，安徽 合肥 230039)

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折射率橢球主軸化方法探討

楊青

(安徽大學 物理與材料科學學院，安徽 合肥 230039)

[摘要]某些晶體，如鈮酸鋰，磷酸二氫鉀(KDP)等，加上電場后，會改變光在晶體中傳播時所表現的各向異性的性質，這種效應稱為電光效應。在分析線性電光效應時，一般光電子技術教材中都會采用折射率橢球方程討論電致折射率的變化，并利用坐標軸旋轉法尋找新的折射率橢球的主軸。本文將介紹另一種矩陣理論的方法分析折射率橢球方程主軸化問題，并與坐標軸旋轉法進行比較。

[關鍵詞]電光效應；折射率橢球方程；主軸；KDP晶體

1893年Pockels發現，若干晶體，加上電場后，能改變它們的各向異性的性質，引起折射率的變化，此現象稱為電光Pockels效應，即線性電光效應。由于其結構簡單，易于控制，故在激光通信、激光測量、激光數據處理等領域有著廣泛的應用[1-7]。

在光電子技術教程中，電光效應及其應用部分是其中的重點和難點。一般光電子技術教材中分析線性電光效應時，都采用折射率橢球的方法討論電致折射率的變化，利用坐標軸旋轉法尋找新的折射率橢球的主軸[5-7]。這種方法是初等代數的方法，我們這里將介紹一種新的矩陣理論方法對該問題進行研究。本文以KDP晶體為例，分別用上述兩種方法分析折射率橢球方程主軸化問題，并對兩種方法進行比較。

1折射率橢球

在晶體中沿某一給定方向傳播的波的相速度與偏振方向有關。在分析晶體中沿任意方向傳播的波時，問題就變得非常復雜，這時采用折射率橢球的方法來分析問題比電磁理論方法更直觀方便。

折射率橢球方程是用來描述光波在各向異性晶體中的傳播規律的方程。一般在沒有外加電場的情況下，晶體的折射率橢球方程是一個正橢球方程，但是根據電磁場理論，一旦加上外電場，光波與介質發生相互作用，引起介質的折射率發生變化，這時電光晶體折射率橢球的主軸不再是原來的主軸，方程變成一般的橢球方程。這時需要尋找新的折射率橢球的主軸，即將新的折射率橢球主軸化。

在晶體未加外電場時，在其主軸坐標系中，折射率橢球方程為：

(1)

式中，x、y、z為介質的主軸方向，即在晶體內沿著這些方向上的電位移和電場強度互相平行；nx,ny,nz為折射率橢球的主折射率。對單軸晶體，一般有nx=ny≠nz；對雙軸晶體，則有nx≠ny≠nz。

當晶體施加電場后，其折射率橢球就發生”變形”，橢球方程變為

(2)

可見，由于外加電場的作用，折射率橢球各系數(1/n2)隨之發生線性變化。其變化量可定義為

(3)

式中，具有γij元素的6×3矩陣稱為電光張量，每個元素的值由具體的晶體決定，它表征感應極化的強弱。利用上式即可算出各系數(1/n2)的變化，進而討論折射率橢球的變化。下面以KDP晶體為例分析如何將新的折射率橢球主軸化。

2KDP晶體的線性電光效應

(4)

由上式可看出，外加電場導致折射率橢球方程中“交叉”項的出現，橢球的主軸不再與x，y，z軸平行，因此，必須找出一個新的坐標系，使式(4)在該坐標系中主軸化，這樣才可以確定電場對光傳播的影響。下面按外加電場施加方向分兩種情況進行討論。

2.1外加電場平行于光軸

設外加電場方向平行于z軸(光軸)，即 Ex=Ey=0,Ez≠0，于是(4)式簡化為

(5)

為了尋求一個新的主軸坐標系(x′，y′，z′)，使橢球方程不含交叉項，即將新的橢球主軸化。教材上一般采用的是坐標軸旋轉法，我們先作簡單回顧，然后重點介紹矩陣理論的方法。

2.1.1坐標軸旋轉法

由于式(5)中x和y是對稱的，故可將x坐標和y坐標繞z軸旋轉α角，則新舊坐標系之間的變換關系為

(6)

將式(6)代入式(5)，并令交叉項為零，可算出α=45o，則方程變為

(7)

這就是KDP晶體沿z軸加電場之后的新折射率橢球方程，新的主軸分別為

(8)

由此可見，KDP晶體沿z軸加電場后，由單軸晶體變成了雙軸晶體，折射率橢球的主軸繞z軸轉了45°角，此轉角與外加電場的大小無關，其折射率變化與電場成正比，這就是電光Pockels效應。這是教材上介紹的坐標軸旋轉法將折射率橢球主軸化。下面介紹矩陣理論法。

2.1.2矩陣理論法

外加z向電場后晶體的折射率橢球方程(5)式，可用矩陣形式表示為，

(9)

根據矩陣理論[8]，可經過將矩陣對角化，找到一個新的坐標系，使得在這個新的坐標系中，(9)式變成一個對角陣，并通過該形式找出新的折射率。即求滿足

(10)

(11)

該方程有非零解的充要條件是其系數行列式不為零，即

(12)

通過計算可以得到三個特征值分別為

(13)

從而得到在新的坐標系下的折射率橢球方程是

(14)

該結果與用坐標系旋轉法得到的結果(7)式相同。其后關于新的主軸折射率大小變化的討論與前面相同，不再贅述。

2.2外加電場垂直于光軸

(15)

同樣，分兩種方法討論如何將折射率橢球主軸化。

2.2.1坐標軸旋轉法

按照2.1.1類似的步驟，這里由于式(15)中出現了xz交叉項，故可將x坐標和z坐標繞y軸旋轉α角，則新舊坐標系之間的變換關系同式(6)，只是y換成了z，于是可得新坐標系下的折射率橢球方程為

(16)

要使上述方程主軸化，需令交叉項的系數等于0，即

(17)

(18)

將上式代入(16)式，可得新主軸坐標系x′y′z′中的折射率橢球方程近似表達式：

(19)

2.2.2矩陣理論法

折射率橢球方程(15)用矩陣形式可寫為

(20)

容易求得三個特征值分別為

(21)

于是可以得到新主軸坐標系中的折射率橢球方程為

(22)

該結果和由坐標旋轉法得到的(19)式并不完全相同，因為這里沒有采用任何近似。

通過計算比較，可知兩種理論都可以解決電光效應中折射率橢球方程主軸化的問題。但是在稍微復雜的情形下，坐標旋轉法需要采用某種近似才能得到結果，而矩陣理論法則可通過直接求解特征值得到結果。

3結語

我們以KDP晶體為例，介紹了利用坐標軸旋轉法和矩陣理論討論外電場作用下的折射率橢球方程主軸化問題。通過計算與分析，可以得出，在具有較高對稱性的簡單情形下，采用坐標旋轉法簡便直觀；但是在相對復雜的情況下，利用坐標施轉法，必須采用一定的近似，因而，矩陣理論計算更精確更具有普遍性。

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Discussion on the Spindle of Refractive Index Ellipsoid

YANG Qing

(SchoolofPhysics&MaterialScience,AnhuiUniversity,Hefei230601,China)

Abstract：As we know, when the electric field is added to some crystals, such as LiNO3 and KDP, the anisotropic characteristic of propagation of light wave in the crystal will change, which is called electro-optic effect. As analyzing this effect, the equation of refractive index ellipsoid is usually used to discuss the change of refractivity in general textbooks of optoelectronic technology. Then the method of rotating axis is employed to find the spindle of the new refractive index ellipsoid. Here we present another method by using the theory of matrix to analyze the spindle of the new refractive index ellipsoid by comparing this method with that of rotating axis.

Key words：electro-optic effect；equation of refractive index ellipsoid；spindle; KDP crystal

[收稿日期]2016-01-10

[基金項目]國家自然科學基金(11204002)

[作者簡介]楊青：女，博士，安徽大學物理與材料科學學院副教授，從事量子信息與量子計算的研究。

[中圖分類號]TN29

[文獻標識碼]A

[文章編號]1674-2273(2016)03-0016-04