基本不等式求最值中“定值”的必要性

◎周國明

(唐山一中，河北 唐山 063000)

基本不等式求最值中“定值”的必要性

◎周國明

(唐山一中，河北 唐山 063000)

在高中數學必修五中，關于基本不等式的應用，我們常說“和定等積大，積定等和小”，也就是：兩個正數，若“和”為定值，則在它們相等的時候“積”取得最大值；若“積”為定值，則在它們相等的時候“和”取得最小值.

基本不等式；求最值；求最值中“定值”

很多同學對“定值”的理解是不夠深刻的，他們會有疑問：“積”如果不是定值，而是有范圍的，為什么求“和”的最小值時就不能用基本不等式？針對這個問題，我在本文中通過兩道例題，做深入透徹的說明.

(1)求xy最小值.

(2)求x+y最小值.

①

②

這個方法對嗎？

由題干，顯然x+y可以統一為只有一個變量x的函數，記為f(x)；

為了理解更為深刻，我們再看例2.

例2 若a>0,b>0，滿足ab=a+b+3.

(1)求ab范圍.

(2)求a+b范圍.

t2-2t-3≥0，即t≥3，故ab≥9，

③

④

結果是一樣的.為什么呢？④式中，兩個等號同時成立，需要③即可.

通過以上兩題，希望能幫助大家理解“和定等積大，積定等和小”.基本不等式求最值，一定要注意“定值”的意義，一般情況下，關于兩個正數的“和”與“積”，我們要已知其中一個是定值，才能求另一個的范圍.