回歸教材分析，探究中點四邊形的面積計算

◎林文權(quán)

(福建省晉江市南灣中學(xué)，福建 晉江 362256)

回歸教材分析，探究中點四邊形的面積計算

◎林文權(quán)

(福建省晉江市南灣中學(xué)，福建 晉江 362256)

“中點四邊形”是在掌握了三角形的中位線定理后，結(jié)合平行四邊形的判定所進行探索延伸，通過探索，可知“中點四邊形”必為平行四邊形.當原四邊形的對角線相等或垂直時，該“中點四邊形”會形成特殊的平行四邊形(矩形、菱形或正方形)，從中我們知道原四邊形對角線的特殊關(guān)系決定“中點四邊形”的特殊性.在探索過程中也發(fā)現(xiàn)由原四邊形各邊中點所構(gòu)成的新四邊形的面積與原四邊形存在著特殊的數(shù)量關(guān)系，下面我將運用實例就此類圖形所蘊含的面積關(guān)系加以探討及拓展延伸.

一、借助“三角形中位線”，求“中點四邊形”的面積

圖1

【案例】已知：如圖1，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，且S四邊形ABCD=10.求：S四邊形EFGH.

【解法】∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點,

根據(jù)中位線定理，很容易得到：

∴S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DGH

【評析】以上僅僅提供一種利用三角形中位線，即相似三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形的面積和差關(guān)系，來求“中點四邊形”面積的方法.這種方法比較直接，又能充分結(jié)合數(shù)學(xué)的化歸思想，把求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求三角形的面積，把“中點四邊形”的問題轉(zhuǎn)化為“三角形中位線”的問題，充分調(diào)動和運用已有的知識、經(jīng)驗和方法應(yīng)用于問題的解決.得到結(jié)論：“中點四邊形”的面積等于原四邊形面積的一半.

二、借助“中點四邊形”面積，求對角線互相垂直的原四邊形的面積

圖2

【案例】已知：如圖2，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于O，且AC=6，BD=8.

求：S四邊形ABCD.

【解法一】

S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD

【解法二】

易得,S矩形EFGH=EF·FG=3×4=12,

所以S四邊形ABCD=2S矩形EFGH=24.

【評析】本題比較簡單，解法一學(xué)生比較容易想到，也是比較正常的方法；解法二，對角線互相垂直的“中點四邊形”是矩形，求矩形面積學(xué)生很熟悉，再借助“中點四邊形”的面積等于與原四邊形面積的一半，就可以巧妙求出原四邊形的面積.得到結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形的面積等于兩條對角線積的一半.

三、借助“中點四邊形”面積，求四邊形對邊中點連線分割的圖形的面積

圖3

【案例】已知：如圖3，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，EG，F(xiàn)H相交與點O，其中S1，S2，S3，S4分別表示四個小四邊形的面積，且S四邊形ABCD=20.求：S1+S3.

【解法】∵△AEF∽△ADB，△BFG∽△BAC，△CGH∽△CDB，△DHE∽△DCA,

且EF，F(xiàn)G，GH，HE分別是△ADB，△BAC，△CDB，△DCA的中位線,

∴S△AEF+S△CGH=S△BFG+S△DHE.

綜上所述：

∵S△EFO=S△FGO=S△GHO=S△HEO,

S△AEF+S△CGH=S△BFG+S△DHE,

∴(S△AEF+S△EFO)+(S△CGH+S△GHO)=(S△BFG+S△FGO)+(S△DHE+S△HEO),

【評析】根據(jù)解題慣性思維，學(xué)生很容易想到：依次連接四邊形各邊中點所成的圖形(中點四邊形)是平行四邊形.通過依次連接E，F(xiàn)，G，H，將每個小四邊形又分割為兩個小三角形，從中發(fā)現(xiàn)三角形與要找面積存在的聯(lián)系.可以得到結(jié)論：四邊形對邊中點連線所分割的四個小四邊形，不相鄰的兩個小四邊形的面積之和相等.

四邊形的中點作為特殊位置上的點，無論是由此引發(fā)的“中點四邊形”的面積或是其他與中點有關(guān)的圖形的面積，必有其特殊性，要注意聯(lián)系三角形的中位線定理，相似三角形的性質(zhì)，面積分割的和差關(guān)系、同底等高等積關(guān)系，善于整合相關(guān)知識，起到舉一反三的效果.

2016年度福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項課題“基于教材分析的初中數(shù)學(xué)校際教研的實踐研究”立項批準號：FJJKXB16-023.