當音樂擁抱數學（下）

王江山++朱宇彤++王江山

音樂是一種兼具時間、空間、抽象藝術等典型特征的表現形式，而數學恰恰又與這些特征息息相關，這種相關性深刻地體現在了音律中。音律是確定調式音高的基礎，反映了各音的絕對準確高度及其相互關系。在音樂與數學的碰撞過程中，總會有好的音樂誕生，讓我們一起來看看音樂與數學到底會碰撞出怎樣的故事？柔美的音樂中是不是也會誕生數學呢？

七辭王位的

朱載堉與十二平均律

在音律中，每個音級為“一律”，如果將管仲的三分損益法推演下去，就會得到一個下4度音，依此類推，就能得到12個音，稱“十二律”。如果按照三分損益法推演音律，計算到最后一律時就不能循環，這樣在移調或轉調時，就無法獲得均等的音樂效果，從某種程度上來講破壞了音樂的和諧之美。那么，如何解決三分損益法的這一瑕疵呢？如何令音律均等和諧呢？千百年間，中外的音樂家們孜孜以求，可他們大多以失敗告終。幸而，在四百多年前的中國，一位皇親解決了這個問題。

?朱載堉（1536-1611），字伯勤，明代著名的律學家、歷學家、音樂家。朱載堉自幼深受其父的影響，喜歡音樂、 數學等，被中外學者尊崇為“東方文藝復興式的圣人”（繪圖/朱宇彤）

1596年，皇子朱載堉為世界帶來了一個韻律上的偉大貢獻：他編撰了《律呂精義》。在這本書里，存在一個偉大的證明：勻律音階的音程可以取二的十二次方根。

這個證明看似抽象，仿佛又完全是個數學定理，和音樂究竟有何關系呢？朱載堉到底證明了什么？

朱載堉從小就表現出對天文、數學、音樂的興趣。在復雜的政治斗爭中，他的父親鄭恭王被小人陷害入獄。從此，朱載堉的人生發生了天翻地覆的轉折。他無心權位，從此遠離了宮門，開始一心研究他熱愛的數學和音樂。面對音樂演奏中“旋宮轉調”這一千古難題，他全身心地投入研究。他研讀了大量先人的學說，發現他們都沒能擺脫舊日思想的沉疴，都不是完善的音律理論。

?據《明史·藝文志》載，朱載堉的一生有很多著作，內容涉及音樂、天文、歷法、數學、舞蹈、文學等，是一個可以與李時珍、宋應星、徐光啟、徐霞客齊名的重量級科學家，同時也是一位大百科全書式的學者（繪圖/朱宇彤）

朱載堉在研究音律學的同時，發現前人可能忽略了計量學和度量衡的演變。他思考著：會不會是因為計量不準確，才導致計算偏差呢？他在確定量制標準的基礎上，從數學理論出發，深入研究了等比數列，進而找到了計算等比數列的方法，并思考著將它運用到音律計算中?？蛇@時，新的難題再一次襲來，等比數列涉及繁復的數學運算，只憑人的腦力恐怕難以成功。但朱載堉沒有放棄，他創造性地運用珠算進行開方運算，還自創了珠算開方口訣，順帶解決了不同進位小數的換算方法，做出了有關計算法則的總結。

就這樣，朱載堉在向難題沖刺的道路上，不斷解決了難題周邊的其他問題，并將從那些問題中獲得的計算方法，應用到解決音樂難題的過程中。在音律理論上，他倡導七聲音階，把八度分成十二個半音以及變調;在推算方法上，他以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數列，第一次解決了十二律內自由旋宮轉調的千古難題，因此，該音律理論被稱為“十二平均律”。

在《律學新說》卷一中，詳細記述了十二平均律的計算方法。他用發音體的長度來計算音高：假定黃鐘正律為一尺，求出低八度的音高弦長為二尺，然后將2開12次方，得到頻率公比數1.059463094，該公比自乘十二次即得十二律中各律音高，而黃鐘正好可以將其還原。

那到底什么是十二平均律呢？所謂“十二平均律”，就是把中音C和高音C之間的頻率“平均”分成12個間隔，每一個音符的頻率和前一個音符的頻率之比相等。這樣，就把八度音分為十二等分，就是分為十二個等比級數，其結果就是每個音的頻率為前一個音的2開12次方倍。對比數值我們能清楚地發現，朱載堉的計算已經到了很精確的地步。這一發現，幾乎比歐洲人提前了半個世紀。

十二平均律理論的研究，不僅在數學上表現了極大的造詣，也極大地豐富了音樂的色彩和表現力。十二平均律的發現和運用，開創了世界音樂史的新紀元，許多偉大的音樂家及其大批劃時代的作品，都受到了十二平均律的影響。如德國著名的鋼琴家巴赫就很推崇十二平均律，還寫下了48首植根于十二平均律的鋼琴曲呢！

?朱載堉用橫跨81檔的特大算盤，進行與音律有關的數學計算（繪圖/朱宇彤）

尋找最美的音符：

音樂中的黃金分割

提到黃金分割，大家應該不會陌生。這個奇妙的數學理論總令人產生無限的遐想……從貝類動物身上的神秘螺線，到金字塔的邊線角度，從人體的和諧線條，到無機物質的原子排列，生活中隨處可見這個神秘的比例。那么，當黃金分割理論被應用于音樂中，又會碰撞出怎樣的火花呢？

說到黃金分割率，就要講一講斐波那契數列。斐波那契是意大利數學家，他曾提出過一個有趣的問題：“如果有一對小兔，兩個月后就能開始生產，從此每月產下一對小兔，產下來的小兔也是如此，如果所有的兔子都不死，那么一年以后能繁殖多少對兔子呢？”稍加計算，你會發現這道題的答案非常奇妙：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…如此你就得到了斐波那契數列。仔細觀察，你就會發現這個數列有個顯著的特點：任何相鄰兩個數，其第一個數與第二個數的比值越來越接近黃金分割的數值0.618。

斐波那契數列又稱黃金分割數列，如果我們將其用于分類及音樂曲式結構中，會不會使音樂更加和諧、優美呢？

許多作曲家有意或無意地把黃金分割引用到音樂中，這反而成為了他們作品歷久彌新的法寶。許多曲子都是一段式、二段式、三段式或五段回旋曲式。而且黃金分割比例與音樂中高潮的位置有密切關系。如在《夢幻曲》中，全曲共分6句，24小節。按照黃金分割率計算的話，高潮將在第14小節（24×0.618≈14.83）出現，而這與實際情況是完全符合的。

更典型的例子是莫扎特的《D大調奏鳴曲》，它的第一樂章全長160小節，若用小節數乘以黃金分割比值，即160×0.618=98.88，曲子的再現部位恰恰位于第99小節，正好在黃金分割點上。也許是有意為之，也許是天賦的自然流淌，莫扎特的大部分鋼琴曲中都應用了這個方法，以至于有人評價他：“我們應當知道，創作這些不朽作品的莫扎特，也是一位喜歡數字游戲的天才。莫扎特是懂得黃金分割，并有意識地運用它的?！?/p>

朋友們仔細觀察就會發現，許多優秀歌曲的高潮部分一般也會出現在黃金分割點上。這一點不僅在古典音樂中得到充分展示，在流行歌曲中也可以找到痕跡，許多歌曲的主歌和高潮部分，都落在這個神秘的點上。

?當樂器激蕩起樂章時，悠揚的旋律起起落落，數學上的比例之美，通過樂聲得到了傳達（繪圖/朱宇彤）

樂器：音樂與數學

交織的杰作

前文我們提到了黃金分割理論，它不僅被應用在樂曲編排中，還被廣泛地運用到樂器制造上。最為典型的例子就是小提琴，其共鳴箱最寬處和箱長之比，共鳴箱最厚處與箱體最窄處之比，皆符合黃金分割率。而且，在樂器的制造上，小提琴的部分符合黃金律越多，音色越優美。數學理論再次在樂器制作中顯示了它的魔力。

?斐波那契螺旋線又稱黃金螺旋，是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，指在矩形中按照黃金比率旋進漸進無限分割，切點的連線形成對數螺旋線。（繪圖/王江山）

作為樂器之王的鋼琴，更是處處體現了數學的智慧。鋼琴的制造就是用十二平均律來定音的。因為鋼琴是鍵盤樂器，每個鍵的音高是固定的，因此，消除兩種半音的差別就顯得尤為重要，而唯一的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這樣才能滿足音樂演奏中旋宮轉調的要求。十二平均律確定的各律音程相等，就很好地解決了這個問題。鋼琴琴鍵的音程也與斐波那契數列有關。在一個八度音程中有13個鍵，八個白鍵和五個黑鍵，而五個黑鍵又可以分為兩組。一組兩個，一組三個，2、3、5、8、13恰好是斐波那契數列的一段。

不僅如此，樂器的形狀也會影響聲色的變化。典型的例子是三角鋼琴。它的形狀很像一條指數函數曲線，這樣設計的鋼琴不僅節省了材料，而且外形也更加流暢美觀;圓號的形狀也是借鑒了這個原理。除此之外，吉他弦長的粗細比例和長笛的孔徑間距也應用了數學原理，不同的比值和距離可以產生不同的音色和音調變化。數學在樂器中的應用，讓樂器演奏的樂聲更加和諧動人。

知識鏈接 愛做學問不愛王位的朱載堉

朱載堉的父親去世后，按規定，朱載堉可以、也應該繼承王位。可是他對做王爺沒有興趣，而越發離不開對天文、歷法與音樂的研究。他連續七次上表，請求準許他辭掉王位，專心探討學問。最后，明神宗同意了他的請求，而且特批，他和他的兒子雖然沒有爵位，但可以終身享受親王與親王世子的俸祿。

西爾弗斯特曾說過：“難道不可以把音樂描繪成感覺的數學，而把數學描繪成理性的音樂嗎？這樣，音樂家感覺到數學，數學家想到音樂——音樂是夢想，數學是工作的一生——每一方都經由對方達到盡善盡美的境地，那時，人類的智慧達到完美的典型，將在某個未來的莫扎特-狄利克雷或貝多芬-高斯的歌頌下而光彩奪目?！币魳放c數學的結合，就是這樣奇妙！偉大的藝術中，常常棲居著科學的秘密。