一類利用從屬關系定義的復數階雙單葉函數類的系數問題

都俊杰，鄒發偉，秦川，馮建中

一類利用從屬關系定義的復數階雙單葉函數類的系數問題

都俊杰1，鄒發偉1，秦川1，馮建中2

(1.長江大學工程技術學院，湖北荊州434020;2.長江大學信息與數學學院，湖北荊州434000)

利用Salagean算子和從屬關系定義一類復數階雙單葉函數類MΣ(n，b，β;h)，利用從屬定理研究得到它的系數|a2|和|a3|的上界，并討論一些應用廣泛的函數類，擴展了一些已有結論，在證明方法上有了較大的變化.

解析函數;雙單葉函數;從屬;Salagean算子

本文用C表示復數集，N表示正整數集，N0表示非負整數集.記A表示單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內解析且具有如下展開式的函數族

對于f(z)∈A，G.S.Salagean［1］定義Salagean微分算子D如下:

容易驗證

記S表示A中滿足(1)式且單葉的子族.設f(z)和g(z)在U內解析，稱f(z)從屬于g(z)［2］，記作f(z)

眾所周知，對任意具有(1)式形式的函數f(z)∈S均存在逆函數f－1，定義為

其中

函數f(z)∈A稱為U內的雙單葉函數當且僅當f(z)和f－1(w)均為U的單葉函數，現記Σ表示U具有(1)式形式的雙單葉函數族［11］.文獻［12－14］引入了雙單葉函數族Σ中的α階強星形函數類S*Σ(α)和α階凸函數類KΣ(α)如下:

其中，0≤α＜1，g(w)=f－1(w).自從H.M.Srivastava等［11］研究了雙單葉函數族的系數性質后，就有越來越多的學者開始關注并定義了眾多雙單葉函數子類，通過研究系數|a2|和|a3|的非精確上界估計(詳見文獻［15－22］)，其結果已運用于不動點理論、解析函數邊值問題、逆函數等進行研究，詳見文獻［23－25］.

設h:U→C為滿足下列條件的凸單葉函數假設h(z)具有下列展開式

f(z)∈Σ由(1)式給出，稱f(z)∈MΣ(n，b，β;h)，若f(z)及其逆函數g(w)=f－1(w)滿足從屬關系:

其中，n∈N0，β∈(，b為任意非零復數.

1)取β=0，f(z)∈MΣ(n，b，0;h)滿足

函數類MΣ(n，b，0;h)由熊良鵬等［26］引入并研究.

若β=0，f(z)∈MΣ(n，b，0，α)，則f(z)滿足

函數類MΣ(n，b，0，α)由鄧琴［27］引入并研究了它的系數估計.函數類MΣ(0，b，0，α)為復數階雙單葉解析星象函數，由Q.Deng［28］引入，并由D.Erhan［29］研究.

函數類MΣ(0，1，β，α)由H.Orhana等［30］引入.若β =0，MΣ(0，1，0，α)=(α)為α階星象函數類，由X.F.Li等［31］定義并研究.

若β=0，MΣ(1，1，0，α)=CΣ(α)為α階凸函數類，由D.A.Brannan等［32］定義并研究.

1 主要結論

為了得到結論，需要用到下面引理.

引理1.1［33］若p∈P，其中P表示U中的正實部解析函數族，則|pk|≤2，k=1，2，…，其中

引理1.2［34］設函數φ(z)為U內由下式定義的凸函數

設函數ψ(z)為U內由下式定義的全純(或解析)函數

若ψ(z)<φ(z)，則有

定理1.3若由(1)式定義的函數f(z)∈MΣ(n，b，β;h)，則有:

證明由(2)式，存在2個正實部函數p(z)，q(z)

其中

通過比較(3)和(4)式兩邊z2和z3的系數得到

和

由(5)和(7)式容易得到

由(6)式加上(8)式得

由于p(z)，q(z)∈h(U)，利用引理1.2有

將(10)式運用于(9)式有

為了得到|a3|的系數估計，將(6)式減去(8)式得

再將(9)式代入(11)式得到

再次對系數p2和q2利用引理1.2得

2 推論

推論2.1［26］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(n，b，0;h)，則有:

證明在定理1.3中令β=0即可得到結論.

推論2.2由(1)式定義的f(z)∈MΣ(n，b，β; A，B)，則有:

證明由于

在推論2.1中令B1=A－B即可得到結論.

推論2.3由(1)式定義的f(z)∈MΣ(n，b，β，α)，則有:

證明在推論2.2中令A=－1，B=1－2α，即可得到結論.

推論2.4［30］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(0，1，β，α)，則有:

證明由于

且B1=A－B=2(1－α)，在定理1.3中n=0，b=1，B1=2(1－α)，即可得到結論.

推論2.5［28］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(0，1，0，α)，則有:

證明在推論2.4中令β=0即可得到結論.

推論2.6由(1)式定義的f(z)∈MΣ(1，1，β，α)，則有:

證明由于

且B1=A－B=2(1－α)，在定理1.3中令n=1，b=1，B1=2(1－α)，即可得到結論.

推論2.7［32］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(1，1，0，α)，則有:

證明在推論2.6中令β=0即可得到結論.

致謝長江大學科研發展基金(2013CJY01)和長江大學工程技術學院科技創新基金(15J0802)對本文給予了資助，謹致謝意.

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Coefficient Problem of a New Subclass of Bi-univalent Functions with Complex Order Defined by Subordinary

DU Junjie1，ZOU Fawei1，QIN Chuan1，FENG Jianzhong2
(1.College of Engineering and Technology，Yangtze University，Jingzhou 434020，Hubei; 2.School of Information and Mathematic，Yangtze University，Jingzhou 434000，Hubei)

In this paper，the authors introduce a new subclass MΣ(n，b，β;h)of bi-univalent functions with complex order defined by subordinary.The purpose is to obtain the estimates on the coefficients bounds|a2|and|a3|.At the same time，some families with wide application are also discussed.The results extend the recent works.There are few changes in the method of proof.

analytic functions;bi-univalent;subordinary;Salagean operater

O174.51

A

1001－8395(2016)03－0344－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.008

(編輯李德華)

2015－08－26

湖北省自然科學基金(2013CFAO053)和湖北省教育廳科研項目(B2013281)

都俊杰(1981—)，女，講師，主要從事數理統計和泛函分析的研究，E－mail:dujunjie0420@163.com

2010 MSC:30C45