高數教學中數學思想方法的應用分析

任曉燕

[摘 要] 大學高等數學教育旨在培養學生的綜合能力和應用技能，同時也要注重培養學生的數學學習能力。在大學高等數學教育中運用數學思想方法，不僅可以加深學生對高數知識的理解，還能有效培養學生的問題分析和解決思維能力，全面增強學生的數學素質，促進學生綜合素質的提高。主要深入探究了大學高數數學中數學思想方法的應用及其意義，為類似研究提供一些參考。

[關 鍵 詞] 高數；數學思想；方法應用

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）28-0134-02

大學高等教育的目的不但是幫助學生積累扎實的理論知識，而且要引導學生掌握一定的學習方法，培養學生的學習思維。在大學教育中，高等數學是一門理論性、抽象性較強的學科，學生學習起來較為吃力，很容易對高數學習產生倦怠心理。在高數教學過程中運用數學思想方法輔助教學，除了可以有效培養學生的抽象思維，幫助學生鞏固知識外，還能深化高數知識內容，促進高數教學活動的順利開展。數學思想和數學方法是數學知識體系中的重要組成部分，學生要想更好地理清各個數學知識點間的關系，有效解決數學問題，可以采用數學思想和方法去建立數學模型，提高高數學習成效。因此，教師在大學高數教學中，加強學生對數學思想方法的認識，引導學生學會運用數學思想方法去解決實際數學問題，增強學生的數學素質。

一、高數教學中數學思想方法的應用意義

數學思想方法伴隨著數學概念的延伸和數學知識的拓展，它不僅是數學內容中的本質思想，更是聯系各個數學知識點的重要紐帶，因此，數學思想方法的學習和掌握應是高數教學中的重要內容之一。在大學高數教學中加強數學思想方法的教學，具有以下幾方面意義。

（一）加強數學思想方法教學，有效培養學生的數學能力

培養學生的數學能力，主要是指培養學生的數學思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力及問題分析解決能力。學生通過長期的數學學習，已經掌握了豐富的數學理論知識，但缺乏將數學知識轉化為數學能力的條件，即學生還沒做到靈活運用數學知識解決各類數學問題，這主要是因為學生還沒充分掌握數學思想方法。學生在學習高數知識初期會積累一定的感性認識，當感性認識積累到一定量，學生便會加深對高數知識的理解，從而對高數知識產生理性認識，形成數學思想方法。此時，教師只需引導學生靈活運用數學思想方法解決數學問題，學生的數學能力便會得到有效提高。

（二）加強數學思想方法教學，有效培養學生的創新思維能力

數學思想方法是伴隨數學概念、數學知識的產生而逐步發展的，數學思想方法的創新也會促使數學知識的變革和發展。由此可見，數學思想方法是數學發展的重要推動力，不論是拉格朗日中值定理，還是二次積分求面積，這些內容都是數學學者在數學思想方法上進行創新變革所得。大學高數教學的目標是在學生掌握扎實理論知識的基礎上，高效培養學生的創新思維能力，而數學思想方法正是有效培養學生創新意識的重要途徑。教師在高數教學過程中滲透數學思想方法，有助于學生掌握數學知識類比遷移的方法，從而促進學生將數學知識轉化為數學能力，便于學生對數學知識的創新與發展，培養學生的創新思維。

（三）加強數學思想方法教學，有效培養學生的學習能力

高等教育旨在為企業培養一批具有高文化、強技能的應用型人才，良好的數學素質能高效培養學生的終身學習能力和可持續發展能力，保證高校學生能適應市場崗位需求。高數教學涉及眾多內容，但教學課時相對較少，因此，教師要在短暫的教學時間內讓學生掌握具體數學知識并靈活應用數學知識是十分困難的。為解決這一矛盾，教師應將數學思想方法滲透到高數教學過程中，引導學生逐步掌握高等數學中的數學思想、數學方法、問題分析方法、問題解決對策等，切實增強學生的數學素質，豐富學生的數學知識，使學生能自覺運用數學思想方法去解決實際的數學問題，發展學生的終身學習能力。

二、高數教學中數學思想方法的應用分析

數學思想方法是發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的重要途徑，數學思想方法包含數學思想和數學方法，數學思想著重數學指導思想，即解題策略；數學方法側重數學實踐應用，即解題方法。目前，高等數學中常用的數學思想方法主要有以下幾種。

（一）數形結合思想

數形結合思想是指運用函數的精確性去描繪某些曲線圖形的特征屬性，充分表現幾何圖形的直觀性，其本質是以函數描繪圖形特點，以圖形反映函數特征。在高等數學中運用數形結合思想可以實現數量與圖形間的對應轉換，將抽象思維與形象思維相結合，精準解決數學問題。在高數教學內容中，需要運用到數形結合思想去解決的內容主要有：導數、極限、定積分、重積分的幾何解釋；線面積分、定積分、重積分的計算求解；函數圖形的單調性、奇偶性、連續性、凹凸性、極值、拐點；無窮數列收斂性等。

（二）類比思想

類比思想是指針對具有部分相同屬性的兩個或兩類對象進行推理類比的思想方法。在高等數學教學中，類比思想常應用于數學概念、定理性質及解題應用，例如，函數的左極限和右極限，函數的左導數和右導數等都可以運用類比分析的思想方法加深學生的理解；又如，二元函數極限概念可以類比到一元函數極限概念，二元函數偏導數概念可以類比到一元函數導數概念。因此，教師在高數教學中應積極引導學生應用類比思想，將自己已知的數學知識、方法、思維方式類比遷移到數學新知識、新方法、新思維方式中去，有效培養學生的類比推理能力，發展學生的創新性思維。

（三）極限思想

數列及函數的極限求解都體現了從有限至無限的極限變化思想，極限思想是解決一些實際問題但無法求得精確解時常用的方法。極限思想最先是用來求解圓面積，具體是利用增加圓內接正多邊形的邊數來求解圓的近似面積；后來，極限思想又被推廣應用到利用平均速度的時間改變量趨近于零的方法求解變速直線運動的瞬時速度；接著，極限思想又被應用到利用矩形面積邊長無限接近于零去求解曲邊梯形面積中。在高等數學中，導數、定積分、無窮級數收斂性等都可以用極限思想來求解。

極限思想本質上是一種關乎“變與不變”“有限與無限”“精確與近似”的辯證思想，理解掌握、靈活運用極限思想分析、解決高數問題是培養學生數學思維、提高學生數學能力的關鍵。因此，在高數教學中，教師應有針對性地在數學概念、定理性質中引導學生掌握極限求解思想，高效培養學生的數學解題思想能力。例如，在講到定積分相關內容時，為求解曲邊梯形的面積，我們可以利用極限思想將曲邊梯形想象成是由無數個小矩形近似形成的，引導學生形成一種“無限細分、無限接近、無限求和”的數學思想。教師在高數教學中滲透極限思想方法，能加深學生對高數知識的認識，便于學生更容易接受后續二重積分、三重積分的學習，同時增強學生的數學思維能力，有助于學生運用極限思想去思考、解決實際的數學問題。

（四）簡化思想

高等數學中有大量概念定義、規律定理和運算方法，學生在學習過程中要全部掌握且靈活運用是很困難的。為提高高等數學教學成效，教師可以將抽象的高數知識簡化凝練，便于學生理解、掌握和應用。同時，要培養學生的簡化意識，讓學生形成“復雜問題簡單化”的解題思想，抓住數學問題的解題關鍵，全面培養學生的數學能力。

例如，在講到利用高數導數去描繪函數圖形的內容時，可以運用“點、線、面”結合分析的方法，即運用函數導數去分析函數的奇偶性、單調性、極值性、凹凸性和拐點特征，精準描繪函數圖像，具體操作步驟為：（1）確定函數定義域和值域。（2）綜合分析函數特征，考察函數的特性，如奇偶性、連續性和周期性。（3）求出函數的漸近線，再求出函數的極值點和拐點，研究函數的單調性和凹凸性。（4）求出函數的相關特殊點，例如與x軸和y軸的交點和容易計算的函數值的點的坐標。（5）根據函數的特征點、單調性、漸近線、連續性、奇偶性，畫出函數圖像。

在教師的引導下，學生能牢固掌握函數圖像的描繪技巧，通過大量的練習實踐，學生加深了對函數特性的認識，形成了“按部就班”的數學問題簡化思想，有效培養了學生的數學思維，全面增強了學生的數學能力。

（五）轉化及化歸思想

轉化及化歸思想是指在解決毫無解題頭緒的高數題目時，可通過運用觀察分析、類比推理、聯想轉化的方式換個角度分析思考數學問題，并將該問題化歸稱為自己已知的高數知識范圍內進行求解。高數問題分析中常見的轉化及化歸思想包括數形結合思想、函數與方程變換思想等，常用的問題轉化手段則有分析法、反證法、構造法等，常見的轉化及化歸基本類型主要有：常量與變量間轉化、函數與圖形轉化、實際問題與數學模型的轉化等。轉化及化歸思想能將復雜分析變為簡單分析，將抽象問題變為具體問題，便于解題。

例如，在高數中函數的導數內容包括一元函數的導數、多元函數的偏導數等，因此，在講到一元函數的導數時，教師可把函數的本質講清楚，即導數本質是函數變化率，它忽略了自變量和因變量的代表意義，只從數量層次上來表現變化率，簡單來說，函數是相對于自變量的變化率。學生在掌握一元函數導數的含義后，在學習多元函數偏導數時，當考慮到函數中一個變量變化而另一個變量固定不變時，則可以將多元函數求偏導轉化為一元函數的求導問題，將復雜的數學問題簡化處理，培養學生的轉化及化歸思想，提高學生的數學素質。

總之，數學思想方法是數學知識和數學規律的提煉，它不僅能反映各個數學知識間的內在聯系，還能有效解決各類數學問題，是一種高效的解題指導思想。由于高等數學具有內容復雜、理論抽象的特點，為提高高數課程教學成效，教師應在教學過程中加強數學思想方法的教學，多與學生互動交流，引導學生主動發現高數知識點間的規律，激發學生的學習興趣，充分培養學生的自主學習能力和創新能力，全面提升學生的綜合素質。

參考文獻：

[1]陳朝堅.論高數教學中數學思想與方法的應用[J].吉林工程技術師范學院學報，2014（2）：89-91.

[2]姜文旭.論在高數教學中數學思想方法的應用[J].時代教育，2015（2）：129.

[3]楊保紅.淺談高數教學中數學思想方法的相關應用[J]. 課程教育研究，2014（2）：148-149.