趣說數學說理與數學證明

張強勝

初一開始就已經有對幾何圖形的簡單說理，雖然教材要求降低，但學生也往往在這一塊知識上摔跟頭. 教學過程中發現學生有以下幾點常見錯誤.

1. 不會說理 不知從哪里開始進行邏輯推理，在求線段長、求角度中最是常見.學生往往是從一個等號開始，直到結論出現，中間不說一點理由，讓他解釋也解釋不清.

2. 胡亂說理 進行幾何論證時，天馬行空，想到哪里就說到哪里，往往是這個定理的條件得到另一個定理的結論，或是想當然的用假命題得到正確的結論.

3. 因果倒置 證明中將判定定理和性質定理混淆，在平行線中尤為突出.把判定定理當性質定理用，或是把性質定理當判定定理用，對定理的條件和結論不甚了解.這些都是學生在學習幾何證明中比較常見的錯誤.

減少以至避免出現這些失誤，可不是一朝一夕就能做到的，最好能在一接觸幾何學習時就給予重視.

下面列舉一些有代表性的、常見的錯例進行剖析，并指出正確的證法.

（1） 偷換概念 在命題的證明過程中，把不屬于某一概念外延的事物誤認為屬于這一概 念，從而誤認為該事物具有此概念的某些屬性，得出錯誤的證明，這就犯了偷換概念的錯誤.這種錯誤在學生的證明中經常出現.

例如：爸爸捕了一條魚，讓兒子分成兩段，每段賣2.5塊，共收益5塊，兒子耍小聰明，偷偷分成三段，每段賣2塊，共收益6塊，上交爸爸5塊，后來老爸發現，讓兒子退還那1塊，兒子為了分得平均，每個人退兩毛，自己偷拿4毛，那顧客等于每個人付了1.8塊，總共花了5.4塊，那兒子偷拿了0.4塊，總共5.8塊，那其余的兩毛呢？

答案：這是一道著名的偷換命題的數學題！

他們每人最后花了2-0.2=1.8（元），也就是一共花了1.8×3=5.4（元）.

這5.4元包括了爸爸得到的5元+兒子偷拿的0.4元=5.4元.

再加上他們三人每人拿回的0.2元×3=0.6元，正好是6元.

兒子偷拿的0.4元是包含在那5.4元里的，是他們付出去的錢，而不是他們拿回去的錢！

（2） 偷換命題 偷換命題是指證明時證明者偷偷加入某些條件用特例代替一般情形來加以證明.這種錯誤也叫作以特殊代一般.

例如：證明“三角形內角和等于180°” 時，有的同學是這樣證明的：在△ABC中，因為∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，

所以∠A+∠B+∠C=180°.

這個同學就是犯了用特殊三角形代替一般三角形的錯誤，把“三角形”偷換成“直角三角形”了.

（3） 循環論證 循環論證也是學生在證明過程中經常出現的錯誤，是指利用要證命題本身或它的等價命題作證明的根據，實質上并沒有給出命題的證明.

例如：一個瘦子問胖子：“你為什么長得胖？”

胖子回答：“因為我吃得多.”

瘦子又問胖子：“你為什么吃得多？”

胖子回答：“因為我長得胖.”

胖子的回答真是令人啼笑皆非.他回答瘦子的第一個問題時，是以“吃得多”為理由的；而他回答瘦子的第二個問題時，又以“長得胖”為理由.胖子的回答能夠解決瘦子的問題嗎？當然不能.胖子的這種論證，就叫作“循環論證”，是說明不了任何問題的.

在教學的過程中，會常常看到同學有一些似是而非的證法，這個時候要認真分析這些錯誤的原因，及時給予糾正，才能在今后的學習中防止或減少這些錯誤的出現.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）