一維穩態流非飽和土滲透系數垂直分布模型及其線性簡化

程大偉， 陳茜，安鵬，郭鴻 ，鄭睿

(1. 長安大學 a.環境科學與工程學院;b.旱區地下水文與生態效應教育部重點實驗室;c.地質工程與測繪學院，西安 710000； 2. 陜西理工學院 土木工程與建筑學院，陜西 漢中723001)

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一維穩態流非飽和土滲透系數垂直分布模型及其線性簡化

程大偉1a，b， 陳茜2，安鵬1c，郭鴻2，鄭睿1a

(1. 長安大學 a.環境科學與工程學院;b.旱區地下水文與生態效應教育部重點實驗室;c.地質工程與測繪學院，西安 710000； 2. 陜西理工學院 土木工程與建筑學院，陜西 漢中723001)

摘要：滲透系數是控制地下水流動的重要參數，對滲透系數的空間分布規律進行研究具有重要的意義。基于Gardner模型獲取了一維穩態流非飽和土滲透系數沿垂直分布模型，該模型用指數函數描述，受飽和滲透系數和無量綱的深度與流動率等因素的控制；該模型表明一維穩態流條件下均質典型土類的滲透系數其沿垂直方向變化趨勢主要受比流量與飽和滲流系數的負數值二者之間的相對大小影響。分別采用泰勒級數方法和以地下水位處及地表處的滲透系數作為控制條件方法對一維穩態流非飽和土滲透系數沿垂直分布模型進行線性近似簡化。采用泰勒級數方法獲取的簡化模型其計算誤差隨無量綱的深度增大而增大。簡化后的模型具有形式簡單、參數少等特點。通過算例對比簡化模型與原模型的差異，計算結果表明：采用以地下水位處及地表處的滲透系數作為控制條件的方法進行線性近似簡化的模型計算誤差比采用泰勒級數方法獲得的線性近似簡化模型的計算誤差小。

關鍵詞：一維穩態流;滲透系數;垂直分布;簡化模型

非飽和土的滲透系數是控制土層中水分和污染物遷移的重要參數之一[1]。試驗獲取滲透系數的方法分為穩態方法和非穩態方法的瞬時截面法[2]。滲透試驗的測試結果表明，滲透系數對飽和度的依賴性較大[3]，在低飽和度時，滲透系數的測試非常困難。采用經驗公式和理論預測的方式確定非飽和土的滲透系數往往是較為理想的選擇。為此，許多學者對此進行過探討，并提出了一些非飽和土滲透系數的經驗公式或是嘗試經驗預測非飽和土的滲透性函數[4-7]。

滲透系數的空間分布與許多巖土工程問題有關，如入滲或蒸發條件下所引起的巖土質邊坡穩定[8-10]以及堤壩穩定性分析[11]、污染物入滲運移[12-13]等。本文擬以滲透函數Gardner模型為基礎獲得一維穩態流非飽和土滲透系數沿垂直方向分布模型，并對該模型進行簡化，使其簡潔易用。

1一維穩態流均質非飽和土滲透系數沿垂直分布模型

很多模型可以用來研究滲透系數對基質吸力的依賴特征。其中Gardner模型[14]廣泛應用于求解非飽和流動的解析解，該模型可表達為：

(1)

式中：k為滲透系數；ks為飽和土滲透系數，對于均質土ks為一單值，與位置無關；α為土水特征曲線擬合參數，又稱為孔徑分布參數，kPa-1；(ua-uw)為基質吸力。

在穩定狀態下，垂直非飽和流動可用達西定律進行描述，并依照慣例規定水流向下運動為負號，向上運動為正號，因此，垂直方向的比流量為

(2)

式中：q為比流量；γw為水的容重；y為垂直方向距地下水位處的距離，取地下水位處y=0，地下水位以上為正。

利用邊界條件，在地下水位處(y=0)基質吸力為0，并結合式(1)，可得基質吸力沿y方向分布模型[15]

(3)

式中：e是自然常數。

將式(3)代入式(1)，即可獲得一維穩態流非飽和土滲透系數沿垂直分布模型，如式(4)所示。

(4)

式中：kwy為沿垂直方向(y方向)分布的滲透系數。

式(4)表明，一維穩態流非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向(y方向)分布受飽和滲透系數ks和無量綱的深度αγwy與流動率q/ks等因素的控制。

進一步地，可以對入滲或蒸發條件下均質典型土類(砂土、粉土和粘土)的滲透系數kwy沿垂直方向(y方向)分布規律的變化趨勢進行討論。

如前所述，對于均質土其飽和滲透系數ks是一單值，即與位置無關；q是比流量，在一維穩態流條件下其值與位置無關；α為土水特征曲線擬合參數，γw為水的容重，此二者也與位置無關。

對式(4)求取一階導數，有

(5)

式(5)的駐點應滿足

(6)

對于砂土、粉土和粘土的典型水文參數如表1[15]所示。

表1　砂土、粉土和粘土的典型水文參數

如表1所示，典型土類的土水特征曲線擬合參數α和飽和土滲透系數ks均大于0。同時,考慮到e-αγwy恒大于零，因此,式(5)的駐點存在的條件是

(7)

對于式(3)而言，比流量q與滲透系數ks之間存在如式(8)所示關系。

(8)

當q≥-ks時，有。

(9)

式(7)～(9)表明：對于一維穩態流條件下均質典型土類的滲透系數kwy而言，其沿垂直方向(y方向)變化趨勢主要受比流量q與飽和滲流系數ks的負數值之間的相對大小影響，而與位置無關。值得注意的是，按照慣例規定水流向下運動取負號，水流運動向上運動取正號，同時考慮到典型土類的飽和土滲透系數ks其值大于0， 因此,對于一維穩態流均質非飽和土可以得到如下結論：

1)若為蒸發條件，恒有0

2)若為入滲條件，當滿足-ks

3)若為入滲條件，當滿足q=-ks，滲透系數kwy沿垂直方向(y方向)保持不變，即為飽和滲透系數ks。

2一維穩態流非飽和土滲透系數沿垂直分布模型的簡化

一維穩態流非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向分布，如式(4)所示，為非線性函數，涉及參數包括飽和土滲透系數ks、土水特征曲線擬合參數α和比流量q，以下對式(4)進行近似簡化。

對式(4)利用泰勒級數展開，可得

(9)

略去二階及以上的高階項，則有：

(10)

式(10)表明，一維穩態流非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向分布可近似用線性函數表達，且始終過(0，ks)點。但簡化模型式(10)的誤差與無量綱的深度αγwy有關，隨無量綱的深度αγwy增大，簡化模型的誤差增大。其次，經簡化后的表達式形式上雖更為簡潔，但涉及參數個數并未減小。

在保證近似后表達式的線性化和過(0，ks)點的特點的前提下，為獲取誤差較小且參數更少的簡化模型,取地表處y=H，設該處的滲透系數為kwH，則滲透系數kwy沿垂直方向分布必然經過(H，kwH)點，故一維穩態流非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向分布還可以近似表達為

(11)

式(11)所涉及的參數僅有兩個：飽和滲透系數ks和地表處土的滲透系數kwH。該簡化模型與原模型相比具有形式簡單、參數少、參數易測量等特點。

若把地表處(y=H)的基質吸力記為(ua-uw)H,并代入Gardner模型，則有

(12)

將式(12)代入式(11),有

(13)

式(13)是采用地表處基質吸力記為(ua-uw)H和飽和滲透系數ks為參數的一維穩態流非飽和土滲透系數垂直分布的線性近似簡化模型。

對于不同的非飽和土其土性、土的密度、濕度和結構的變化均會引起滲透系數發生變化。當采用Gardner模型描述滲透性函數時，通過孔徑分布參數α反映不同土性、土的密度和結構的變化帶來的影響，因而簡化模型式(13)與原模型式(4)能夠反映土性、土的密度和結構的變化的影響。至于在一維穩態流條件下均質非飽和土土層內其濕度變化對非飽和土滲透系數影響則是通過垂直方向距地下水位處的距離y的變化間接反映出來。原因在于，一維穩態流條件下均質非飽和土層內基質吸力隨深度單調變化(一一對應關系)[14],而在吸濕或脫濕條件下基質吸力與含水率亦呈單調變化(一一對應關系)[2]，因而，在一維穩態流條件下均質非飽和土層內深度與含水率之間具有一一對應的關系。在簡化模型式(13)與原模型式(4)中正是利用這一關系通過垂直方向距地下水位處的距離y的不同計算并反映土層內不同深度處濕度對非飽和土滲透系數的影響。

3算例

利用前節所述方法，分別利用滲透系數沿垂直方向分布的簡化模型和原模型計算粉土和粘土兩種典型土類滲透系數并進行對比分析。計算土層是厚度為10 m的均質土層，土層中的地下水位為y=0 m位置處，地表處為y=10 m。所用水文參數引自文獻[15],如表2所示。

表2　水文參數

注：表中q為正值表示蒸發。

采用簡化模型和原模型分別對粉土、粘土的滲透系數進行計算，計算結果如圖1所示。圖中R表示式(4)計算結果，即原模型計算結果；R1表示式(10)計算結果，即對原模型利用泰勒級數進行線性近似簡化后的計算結果；R2表示式(11)計算結果，即以地下水位處和地表處的滲透系數作為控制條件進行線性近似簡化后的計算結果。由圖1可見，本算例中的粉土、粘土的滲透系數，其沿垂直方向分布趨勢具有相似性，即自地下水位處至地表處滲透系數均呈現出遞減的趨勢，其原因在于本算例中兩種土類的比流量q=-3.14×10-8m/s均比相應土類的飽和滲透系數的負值要大(粉土-ks=-1.0×10-7m/s，粘土-ks=-5.0×10-8m/s)。從圖1中還可以看出，式(10)和式(11)的計算結果與式(4)計算結果在變化趨勢上相似，但是式(11)的總體誤差水平更小。

圖1　粉土、粘土的滲透系數計算結果對比Fig.1　the calculation comparing between linear model and original model of silt and

圖2　粉土、粘土兩種模型計算值相對誤差Fig.2　the relative error between linear model and original model of silt and clay

為進一步說明上述計算誤差差異情況，圖2給出了簡化模型和原模型計算出的滲透系數之間的相對誤差隨計算深度的分布規律。圖2中E1表示式(10)計算結果與式(4)計算結果之間的相對誤差隨垂直方向距離y的變化趨勢，E2表示式(11)計算結果與式(4)計算結果之間的相對誤差隨垂直方向距離y的變化趨勢。由圖2可見，粉土和粘土的滲透系數采用式(10)計算時所產生的相對誤差隨垂直方向距離y的增大而增大，最大誤差對于粉土為-42.65%，對于粘土為-4.46%，負號表示計算結果比式(4)要小；式(11)計算時所產生的相對誤差隨垂直方向距離y的增大呈先增大后遞減的趨勢，最大誤差對于粉土為7.01%，對于粘土為0.96%。這說明一維穩態流均質非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向分布可以近似用線性簡化模型描述，但從計算結果的相對誤差來看，采用式(11)，即以地下水位處和地表處的滲透系數作為控制條件進行線性近似簡化的模型，計算結果產生的誤差要小。

4結論

非飽和含水層滲透系數的空間分布規律一直是研究的熱點和難點問題。本文基于Gardner模型獲取了一維穩態流非飽和土滲透系數沿垂直分布模型，并分別采用泰勒級數方法和以地下水位處和地表處的滲透系數作為控制條件方法對模型進行線性簡化。具體結論如下：

1)一維穩態流非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向(y方向)分布規律可用指數函數描述，受飽和滲透系數ks和無量綱的深度αγwy與流動率q/ks等因素的控制。

2)對于一維穩態流條件下均質典型土類的滲透系數kwy沿垂直方向(y方向)單調遞減。

3)一維穩態流非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向分布可用泰勒級數展開，可近似簡化為線性模型表達，該線性簡化模型的誤差與無量綱的深度αγwy有關，隨αγwy增大，該線性簡化模型的誤差增大；

4)一維穩態流非飽和土滲透系數kwy沿垂直方向分布還可用以地下水位處和地表處的滲透系數作為控制條件進行線性近似簡化，簡化模型與原模型相比具有形式簡單、參數少、參數易測量等特點。

5)從算例的計算結果來看，采用以地下水位處和地表處的滲透系數作為控制條件進行線性近似簡化的模型計算誤差要比采用泰勒級數方式獲得的線性近似簡化模型的計算誤差要小。

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(編輯王秀玲)

Permeability coefficient vertical distribution model and it’s linear simplified models of unsaturated soil under unidimensional steady flow condition

Cheng Dawei1a，b,Chen Xi2,An Peng1c,Guo Hong2，Zheng Rui1a

(1a. School of Environmental Science and Engineering; 1b. Key Laboratory of Subsurface Hydrology and Ecological Effect in Arid Region of Ministry of Education; 1c. School of Geology Engineering and Geomatics, Chang’an University, Xi′an 710000, P. R. China; 2. School of Civil Engineering and Architecture, Shaanxi University of Techinology, Hanzhong 723001,Shaanxi, P. R. China)

Abstract:The permeability coefficient is important to investigate permeability coefficient spatial distribution of groundwater flow. Based on Gardner model, the permeability coefficient vertical distribution model is established, expressed as exponential, which is controlled by saturation permeability coefficient, dimensionless depth and dimensionless flow rate. The model shows that the permeability coefficient vertical distribution for homogeneous typical soils is influenced by the difference between flow rate and aturation permeability coefficient. And then, simplifies the model is simplified as linear model based on Taylor’s series and permeability coefficient of groundwater level and the earth’s surface as control conditions. The error of linear model with the method of Taylor’s series increases when dimensionless depth increases. The calculation results of the simplified model and the original model are compared . The result shows that the linear model with the method of permeability coefficient of groundwater level and the earth’s surface as control conditions is more accurate than the linear model with the method of Taylor’s series.

Keywords:unidimensional steady flow; permeability coefficient; vertical distribution; simplified model

doi:10.11835/j.issn.1674-4764.2016.02.004

收稿日期：2015-10-23

基金項目：國家自然科學基金(41230314)；中央高校基本科研業務費(310829151076)

作者簡介：程大偉(1984-) ,男,博士,主要從事非飽和土相關理論研究，(E-mail)250446719@qq.com。

中圖分類號：TU435

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764(2016)02-0029-06

Received:2015-10-23

Foundation item：National Natural Science Foundation of China (No. 41230314); Basic Scientific Research Foundation of Central University (No. 310829151076)

Author brief：Cheng Dawei(1984-),PhD,main research interest: the theory of unsaturated soil,(E-mail)250446719@qq.com.