判斷說理題：形外正多邊形

卜文靜

伴隨著新課標全面進入課堂，應運而生了一些形式新穎、富有趣味的考題.縱觀近幾年的中考試題，一類有關形外正多邊形的題目，像一道靚麗的風景線映入眼簾，令人賞心悅目.

一、 形外正三角形

例1 如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD相交于點E，連接BC.

（1） 求∠AEB的大小；

（2） △OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點O旋轉一定角度得到圖2（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小.

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，如等邊三角形的每一個內角是60°，每一個外角是120°，各邊相等等.在求角的度數時，往往是根據三角形全等，將相等的角進行轉化，然后利用三角形的內角和或外角與內角的關系進行求解.

【略解】（1） 如圖1，因為△OCD、△OAB都是等邊三角形，所以OC=OD，∠COA=∠DOB=120°，OA=OB，

∴△COA≌△DOB，∴∠1=∠2.

而∠BFE=∠AFO，故∠AEB=∠AOB=60°.

（2） 解題過程與（1）類似，∠AEB =60°.

例2 如圖3，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ. 以下五個結論：

①AD=BE；② PQ∥AE；③AP=BQ；

④ DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的結論有________.（把你認為正確的序號都填上）

【略解】類似例1，可知△BCE≌△ACD，所以①AD=BE，⑤∠AOB=60°成立；且∠CAD=∠CBE，而∠ACB=∠BCQ，BC=AC，所以△ACP≌△BCQ，即③AP=BQ成立；同樣，△DCP≌△ECQ，則CP=CQ，由于∠PCQ=60°，所以△PCQ是等邊三角形，所以②PQ∥AE成立；④式不成立（DE≠QE=DP）.應填①②③⑤.

例3 如圖4，△ABC和△DCE都是邊長為2的等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，連接BD，則BD的長為_______.

【分析】△ABC和△DCE都是邊長為2的等邊三角形，所以BC=CD，∠DCE=∠E=60°，即∠DBE=30°，△BDE是直角三角形，cos30°=，因此BD=2.

二、 形外正方形

例5 如圖5，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關系是_______.

【分析】解決梯形問題常平移腰、平移對角線、延長兩腰、作梯形的高將梯形轉化為三角形或構造梯形的中位線，由于∠ADC+∠BCD=90°，所以可利用平移腰將梯形轉化為三角形.

【略解】過B作BF∥AD交DC于點F，∠BFC=∠ADF，因為∠ADC+∠BCD=90°，所以∠FBC是直角；又AB∥CD，所以四邊形ABFD是平行四邊形，DC=2AB，故AB=DF=FC，AD=BF，由勾股定理，得BF 2+BC 2=FC2，即AD2+BC2=AB2，故S2=S1+S3.

例6 如圖6，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，邊長分別為a、b、c，A、B、N、E、F五點在同一直線上，則c=_______.（用含有a、b的代數式表示）

【分析】由于四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，所以CN=NH，∠CBN=∠NEH=∠CNH=90°，∠CNB=∠NHE，所以△CBN≌△NEH，BN=HE=b，由勾股定理，得

例7 如圖7，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE. 我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：

（1） ①猜想如圖7中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；

②將圖7中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖8、圖9情形. 請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖8證明你的判斷.

（2） 將原題中正方形改為矩形（如圖10-12），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k>0），第（1）題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖11為例簡要說明理由.

（3） 在第（2）題圖11中，連接BG、DE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值.

【分析】證明線段相等，角相等，兩直線平行，兩直線垂直等常考慮三角形全等.

【略解】（1） ①BG=DE，BG⊥DE.

②如圖8，BG=DE，BG⊥DE仍然成立.易證△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠GBC=∠CDE，∠BHC=∠DHO，

∴∠DOH=∠BCD=90°，即BG⊥DE.

（2） 如圖11，BG⊥DE成立，BG=DE不成立.

易證△BCG∽△DCE，