整體思維捷足先登

陳玲+++王鋒

所謂整體思維，就是把所要研究的對象，看成一個完整的整體，把注意力和著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)或形式結(jié)構(gòu)的變形上，從整體上把握條件與結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系與本質(zhì)內(nèi)涵，選準(zhǔn)解題的方向與策略，便可以避繁就簡、捷足先登.

1. 分式的求值

例1 已知x2-x-2=0，求分式的值.

【思路突破】觀察條件及給出的分式結(jié)構(gòu)特點，我們可以發(fā)現(xiàn)均有相同的多項式x2-x，因此我們可以把x2-x看作一個整體代入求值式，便可獲得問題的答案.

解：由已知條件x2-x-2=0得x2-x=2，代入求值式可得：【點評】對于給出已知條件的求值問題，我們一定要仔細(xì)觀察條件與求值式的結(jié)構(gòu)特征，找到它們之間的連接點，學(xué)會用整體思維的策略，適當(dāng)變化條件與求值式結(jié)構(gòu)，然后整體代入即可化繁為簡.

2. 方程（組）的求解

例2 若方程組 ①2a-3b=13，3a+5b=30.9的解是a=8.3，b=1.2， 則方程組②2（x+2）-3（y-1）=13，3（x+2）+5（y-1）=30.9的解是（ ）.

A. x=10.3，y=0.2. B. x=8.3，y=1.2.

C. x=10.3，y=2.2. D. x=6.3，y=2.2.

【思路突破】觀察方程組①與方程組②中未知數(shù)的系數(shù)及方程右邊的常數(shù)項，它們是完全相同的，因此我們?nèi)绻逊匠探M②中x+2，y-1分別視為一個整體看作“元”，這就表明兩個方程組是完全相同的方程組，從而發(fā)現(xiàn)他們的解是完全相同的.

解：令x+2=m，y-1=n，則方程組②可變?yōu)?m-3n=13，3m+5n=30.9.與方程組①相對照，顯然它們是完全相同的方程組，其解是一樣的，而2a-3b=13，3a+5b=30.9的解是a=8.3，b=1.2，所以有x+2=m=a=8.3，y-1=n=b=1.2，即x=6.3，y=2.2.故選擇D.

【點評】此類問題應(yīng)關(guān)注方程組中未知數(shù)的系數(shù)，與用什么字母表示“元”無關(guān).

例3 （2015·珠海）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組2x+5y=3，4x+11y=5 ①.②時，采用了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5，③

把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=-1，

把y=-1代入①得x=4，

∴方程組的解為x=4，y=-1.

請你解決以下問題：

（1） 模仿小軍的“整體代換”法解方程組3x-2y=5， ④9x-4y=19.⑤

（2） 已知x，y滿足方程組

3x2-2xy+12y2=47，2x2+xy+8y2=36，

求x2+4y2的值.

【思路突破】（1） 關(guān)鍵是將方程組中⑤式恒等變形成3（3x-2y）+2y=19，然后整體代入消元可得解.

（2） 把方程組中兩個方程的左邊分別提取公因式，變成3（x2+4y2）-2xy=47，2（x2+4y2）+xy=36，然后整體消元便可求得x2+4y2的值.

解：（1） 把3x-2y看成一個整體，將方程⑤恒等變形成含有3x-2y的等式，即方程⑤變形為：3（3x-2y）+2y=19⑥，這樣就可以把④整體代入⑥得：15+2y=19，即y=2，把y=2代入④得：x=3，則方程組的解為x=3，y=2.

（2） 原方程可化為

3（x2+4y2）-2xy=47，⑦2（x2+4y2）+xy=36， ⑧

⑧×2+⑦得：7（x2+4y2）=119，所以x2+4y2=17.

【點評】本題首先提供一個利用“整體代入”解方程組的案例，讓讀者閱讀理解掌握解題方法后，模仿其方法去處理新的問題. 從解題過程可以看出利用“整體代入”思想，不但可以快速求出方程組的解，而且還可以起到“降次”作用，達(dá)到快速消元求值的效果.

3. 確定字母的取值范圍

例4 已知方程組x+2y=4k， ①2x+y=2k+1，②且

-1

【思路突破】常規(guī)的思路是先解方程組，用k表示x、y，然后再代入不等式求解.這樣做你會發(fā)現(xiàn)非常麻煩，但如果我們著眼于“x-y”這個整體，只要將方程組中兩個方程“整體相減”便可用k表示出x-y，進(jìn)而達(dá)到目的.

解：將方程組中②-①，得x-y=1-2k，又-1

【點評】解此類問題首先要具備敏銳的觀察能力，即善于發(fā)現(xiàn)方程組與關(guān)于未知數(shù)的不等式之間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，以便確定兩個方程組是相減還是相加，或者是將方程適當(dāng)變形后再加減.