縝密思考知識(shí)正遷移

渠敬明

在學(xué)習(xí)一種新知識(shí)或解決一類新問題時(shí)，往往依靠過去已學(xué)過的知識(shí)或掌握的解題經(jīng)驗(yàn)，去解決新問題，這種方法就叫知識(shí)的正遷移.近年來在數(shù)學(xué)中考中此類問題出現(xiàn)的頻率較高，它能較好地考查同學(xué)們自學(xué)的能力，下面舉例加以說明.

例1 問題背景：

若矩形的周長(zhǎng)為1，則可求出該矩形面積的最大值. 我們可以設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，面積為S，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=-x2+x（x>0），利用函數(shù)的圖像或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值.

提出新問題：若矩形的面積為1，則該矩形的周長(zhǎng)有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？

分析問題：若設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x+（x>0），問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（小）值了.

解決問題：借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)y=2x+（x>0）的最大（小）值.

（1） 實(shí)踐操作：填寫下表，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=2x+（x>0）的圖像.

（2） 觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖像，猜想當(dāng)x=______時(shí)，函數(shù)y=2x+（x>0）有最_______值（填“大”或“小”），是_______.

（3） 推理論證：?jiǎn)栴}背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)S=-x2+x（x>0）的最大值，請(qǐng)你嘗試通過配方求函數(shù)y=2x+（x>0）的最大（小）值，以證明你的猜想. （提示：當(dāng)x>0時(shí)，x=（）2）

【思路突破】對(duì)于（1），按照畫函數(shù)圖像步驟：列表、描點(diǎn)、連線；對(duì)于（2），結(jié)合圖表或函數(shù)圖像，可知有最小值，其值為4；對(duì)于（3），可配成完全平方式的形式，從而求出最值.

解：（1） 如圖2：

（2） 由函數(shù)圖像可知，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有最小值，最小值為4，故答案為：1、小、4；

即當(dāng)x=1時(shí)，y的最小值是4.

【解后反思】在我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)圖像的畫法的基礎(chǔ)上，利用圖像解決本題便不是很難. 二次函數(shù)求最值的方法之一是配方，用模仿的方式將問題式配方求最值是解題關(guān)鍵. 本題設(shè)計(jì)新穎，不僅很好地考查了圖像的作法，還考查了知識(shí)的正遷移能力. 在今后的復(fù)習(xí)中，遇到?jīng)]有思路的問題，可以將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識(shí)去解決.

例2 如圖3，在△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1、r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC.

∴r1+r2=h（定值）.

（1） 理解與應(yīng)用

如圖4，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求出FM+FN的長(zhǎng).

（2） 類比與推理

如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：

已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1、r2、r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3=h（定值）.

（3） 拓展與延伸

若正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1、r2、…、rn，請(qǐng)問r1+r2+…+rn是否為定值，如果是，請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值.

【思路突破】仿照面積分割法，將三角形或多邊形分成若干個(gè)三角形，根據(jù)這些三角形面積的和等于整個(gè)圖形的面積，建立等量關(guān)系，便可求出結(jié)論.

解：（1） 理解與應(yīng)用

連接AC交BD于O，則CO⊥BD，由上述結(jié)論得：

（2） 類比與推理

如圖6，連接AP，BP，CP.

∵S△ABP+S△PBC+S△ACP=S△ABC，

∴·AB·r3+·BC·r1+·AC·r2

=·AB·h，

∵AB=BC=AC，

∴r1+r2+r3=h.

（3） 拓展與延伸

連接PA1、PA2、…、PAn，

S△A1A2P+S△PA2A3+…+S△A1AnP=S正n邊形A1A2…An，

設(shè)正n邊形的邊長(zhǎng)為a，邊心距為r，

則ar1+ar2+…+arn=n·ar，

∴r1+r2+…+rn=nr，為定值.

【解后反思】

本題主要利用面積分割法求線段之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了面積法解題的作用. 解決多邊形距離問題時(shí)，常考慮面積法，即將多邊形分成若干三角形來處理.