砸缸救命轉化思想另辟蹊徑

崔美玲

“司馬光砸缸”的故事在中國可以說是家喻戶曉. 故事說的是幾個小朋友在一起捉迷藏，結果有個小朋友不小心摔了下來，正好摔倒在水缸里. 水缸又高又大，如果不及時救助的話，那個小朋友會很快被淹死. 別的小朋友都嚇壞了，這時的司馬光急中生智，抱起一塊石頭狠勁向水缸砸去，水缸被砸開了，水也很快流了出來，缸中的孩子得救了. “司馬光砸缸”給我們的啟示是遇到某些問題需要變換思維的角度，也就是轉化思想來思考. 如果司馬光沒有轉化思想而只是按照一般的思路去救這個孩子的話，在當時的條件下肯定是救不了的. 因此，司馬光砸缸的故事啟發我們在解答某些數學難題時，也應該轉化一下數學思想，打破習慣思維，另找突破口從而解決問題. 下面我們來看幾道利用轉化思想解決問題的題目.

例1 （2015·河南）如圖1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交于點E，以點O為圓心，OC的長為半徑作，交OB于點D. 若OA=2，則陰影部分的面積為______.

【思路突破】連接OE，將圖中不規則的陰影部分的面積轉化為三角形OCE的面積與扇形OEB的面積之和減去扇形OCD的面積.

【解后反思】轉化思想是解決數學問題的一種最基本的數學思想，是指在解決問題的過程中，對問題進行轉化，將“未知”轉化為“已知”，將“陌生”轉化為“熟悉”，將“復雜”轉化為“簡單”，將“抽象”轉化為“具體”，將“實際問題”轉化為“數學問題”的解題方法，其核心就是將有待解決的問題轉化為已知的明確解決的問題，以便利用已有的結論來解決問題. 運用轉化思想靈活解決有關數學問題，是提高解題能力的有效途徑. 我們也常常在不同的數學問題之間互相轉化，可以說，轉化思想幾乎無處不在.

例2 （2013·東營）如圖2，圓柱形容器中，高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內壁離容器底部0.3 m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m.（容器厚度忽略不計）

【思路突破】壁虎與蚊子在相對的位置，將容器的側面展開建立點A關于EF的對稱點A′，容器的底面周長是1m，A′D的長度就應該是0.5 m. 利用勾股定理在Rt△A′BD中求出A′B的長度，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求.

∴壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

【解后反思】對于這種立體圖形求最短路徑的問題，往往把圖形展開轉化成平面的問題加以解決. 在解數學題時，所給的條件有時不能直接應用，此時就需要我們將所給的條件進行轉化. 如本題的最短路徑問題是通過圖形的展開，利用軸對稱的性質將復雜問題簡單化，轉化為我們較為熟悉的勾股定理的應用問題.

例3 （2014·涼山）某校計劃購買甲、乙兩種樹苗共1 000株用以綠化校園. 甲種樹苗每株25元，乙種樹苗每株30元，通過調查了解，甲、乙兩種樹苗的成活率分別是90%和95%.

（1） 若購買這兩種樹苗共用去28 000元，則甲、乙兩種樹苗各購買多少株？

（2） 要使這批樹苗的成活率不低于92%，則甲種樹苗最多購買多少株？

（3） 在（2）的條件下，應如何選購樹苗，使購買樹苗的費用最低？并求出最低費用.

【思路突破】可以利用大家都熟悉的二元一次方程組解決第（1）個問題；而第（2）個問題很顯然要用不等式來解決；至于第（3）個問題如果直接來求解，既麻煩還容易出錯誤，不妨把這個問題轉化為函數問題，思路清晰，步驟簡捷.

解：（1） 設購甲種樹苗x株，乙種樹苗y株，

由題意，得：x+y=1 000，25x+30y=28 000，

解這個方程組，得：x=400，y=600.

∴購買甲種樹苗400株，乙種樹苗600株.

（2） 設購買甲種樹苗z株，乙種樹苗（1 000-z）株，

由題意，得：

90%z+95%（1 000-z）≥92%×1 000，

解這個不等式，得：z≤600.

答：甲種樹苗至多購買600株.

（3） 購買樹苗的總費用為W元，

由題意，得：

W=25z+30（1 000-z）=-5z+30 000

∵-5<0，∴W隨z的增大而減小，

∵0

∴當z=600時，w有最小值，

W最小值=30 000-5×600=27 000（元）.

答：當選購甲種樹苗600株，乙種樹苗400株時，總費用最低，最低費用是27 000元.

【解后反思】本題主要是把實際問題轉化為一次函數增減性的問題. 由總費用=購買甲種樹苗的費用+購買乙種樹苗的費用，得W=25z+30（1 000-z）=-5z+30 000. 由一次函數性質，k=-5<0，知道W隨z的增大而減小，而0

由此可見，轉化在解題過程中，能起到化難為易、以繁為簡、變生為熟的效果. 當面臨一些難題時，一旦找到適當巧妙的轉化，問題就會變得簡單明了. 轉化思想貫穿在數學解題的始終，而轉化思想具有靈活性和多樣性的特點，沒有統一的模式可遵循，需要依據問題提供的信息，利用動態思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學習和熟悉轉化思想，有意識地運用轉化思想，去靈活地解決數學問題，將有利于提高數學解題的應變能力和技巧.