復合材料層合板在不同溫度場中的熱屈曲行為

田新鵬,李金強,郭章新,韓志軍

(太原理工大學 力學學院,太原 030024)

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復合材料層合板在不同溫度場中的熱屈曲行為

田新鵬,李金強,郭章新,韓志軍

(太原理工大學 力學學院,太原 030024)

摘要:基于經典馮·卡門(Von Karman)平板理論,運用哈密頓(Hamilton)原理,分別對復合材料層合板在均勻溫度場下和非均勻溫度場下的熱屈曲行為進行研究,并探討層合板的邊界條件對臨界屈曲溫度的影響。利用ANSYS軟件模擬獲得了與MATLAB軟件相一致的數值結果,驗證了本文理論和程序的可靠性。結果表明，均勻溫度場下,層合板的臨界屈曲溫度與其邊界條件和鋪層角度密切相關;非均勻溫度場下,層合板的臨界屈曲溫度受溫度分布、振動模式和邊界條件的影響。

關鍵詞:層合板;熱屈曲;邊界條件;鋪設角度;溫度分布

復合材料層合結構由于其比強度高、比模量高及可設計性強等優點,近年來已經在航空航天、機械工業、建筑工程、石油化工、汽車工業等方面得到了廣泛的應用。復合材料層合結構在工程結構中的使用比例經常被用來衡量一個工程結構的先進性。由于復合材料層合結構在工程應用中往往承受著復雜的熱載荷作用,所以對其在不同溫度場中的熱屈曲行為進行研究是十分必要的。復合材料層合結構以板結構的應用最為普遍,所以本文以復合材料層合板結構為模型,通過MATLAB計算其在均勻溫場下及非均勻溫度場下的臨界屈曲溫度值并運用ANSYS進行驗證,從而得出一些規律性的結論。

黃懷緯等[1]采用能量法研究了不同溫度梯度下功能梯度材料圓柱殼的熱屈曲行為,討論了兩種溫度梯度形式以及物性溫度相關性對臨界屈曲溫度的影響。TAUCHERT[2]基于經典的Kirchhoff假設,采用瑞利-里茲法研究了對稱角鋪設層合板在均勻溫場下的熱屈曲問題,同時求得了臨界屈曲溫度。沈惠申等[3]依據Reissner-Mindlin板理論,考慮轉動慣量和橫向剪切變形的影響,分析了中厚板在均勻和非均勻溫度場作用下以及單向壓縮和均勻溫度場共同作用下的后屈曲問題。夏賢坤等[4]基于Reddy高階剪切變形理論及廣義Karman型方程,對功能梯度材料剪切板熱屈曲后的非線性振動進行了分析,分析中考慮了材料熱物參數對溫度變化的依賴性。MATSUNAGA[5]對溫度場下的角鋪設復合材料層合板和夾層板的自由振動問題以及穩定性進行了研究。袁武等[6]針對均勻溫度場下四邊簡支和四邊固支金屬點陣夾層板的臨界屈曲溫度進行了求解,分析了不同邊界條件、點陣胞元構型、點陣材料相對密度、面板厚度等對臨界屈曲溫度的影響規律。

基于經典馮·卡門(Von Karman)平板理論,運用哈密頓(Hamilton)原理推導出層合板的運動方程,進而得出臨界熱屈曲溫度的求解公式；利用MATLAB計算層合板在均勻溫度場及非均勻溫度場下的臨界屈曲溫度,研究分析邊界條件、鋪層角度、溫度分布等對層合板的臨界熱屈曲溫度產生的影響,并通過ANSYS對上述結果進行驗證。

1推導復合材料層合板的臨界熱屈曲溫度公式

取8層對稱分布的復合材料層合薄板,其長、寬、高分別為a,b,h。通過Von Karman平板理論[7] 36可以得出平板內任意一個點(x,y,z)的非線性應變—位移關系:

(1)

式中:εm,εθ和κ分別表示線性膜應變向量、非線性膜應變向量和變形后的曲率向量。這些分量用振動位移表示為:

(2)

式中:u,v和w是坐標系中的位移分量,是滿足任意運動邊界條件的多項式。通過對截面上應力及力矩沿厚度積分可得溫度場作用下板中合力向量N和合力矩向量M:

(3)

式中:fΔt{NΔt}和fΔt{MΔt}分別為由溫度引起的板的相對熱膜力向量函數和熱彎矩向量函數;溫度函數fΔt為:

(4)

式中:Δt是溫差的幅值,f(x,y)是溫度分布函數。熱膨脹系數向量NΔt和MΔt表示為:

(5)

(6)

公式(3)中:A,B,D分別是拉伸剛度矩陣、拉伸-彎曲耦合矩陣和彎曲剛度矩陣,分別表示為:

(7)

(8)

式中:R(k)和Q(k)分別表示為:

(9)

(10)

(11)

(12)

式中:S和ρ分別表示層合板的表面積和密度。由Hamilton原理[7] 37:

(13)

得層合板的運動方程為:

(14)

式中:M,KL和KT分別表示質量矩陣、剛度矩陣和溫度剛度矩陣；X為位移向量。求解式(14)可得層合板振動的固有頻率。溫差增大時振動頻率減小,當頻率減小為0時,層合板發生屈曲。對于一個確定的溫度分布函數f(x,y,z),可通過求解式(15)[6] 3來得出臨界屈曲溫度

(15)

臨界屈曲溫度Δtcr可以表示為:

(16)

式中:Δt0為初始值;λ為溫度系數。

2均勻溫度場下復合材料層合板的熱屈曲問題

2.1不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度

各向異性復合材料層合板的各項參數為:縱向彈性模量EL=155 GPa,橫向彈性模量ET=8.07 GPa,剪切彈性模量GLT=4.55 GPa,泊松比νLT=0.22,密度ρ=1 600 kg/m3,縱向熱脹系數αL=0.07×10-6(℃)-1,橫向熱脹系數αT=30.1×10-6(℃)-1,幾何尺寸a=b=100h,鋪設角度為[0/0/0/0]s其中，[a/a/a/a]s表示對稱鋪設,a分別代表各邊的鋪設角度。

通過MATLAB計算,當層合板的邊界條件為四邊固支(CCCC,C代表固支)時,其臨界屈曲溫度為71.2 ℃;當邊界條件為四邊簡支(SSSS,S代表簡支)時,臨界屈曲溫度為29.4 ℃。運用ANSYS對四邊固支和四邊簡支條件下的層合板進行模擬,得其臨界屈曲溫度分別為70.6 ℃和29.8 ℃,模擬結果與MATLAB的計算結果吻合良好。

圖1給出了四邊固支和四邊簡支邊界條件下的溫度(t)-頻率(f)曲線。由圖中可知這兩種邊界條件下層合板的頻率值都隨著溫度的升高遞減。另外,圖1-a的一階頻率臨近屈曲時減小速率明顯地增大直至為零;而圖1-b的二階頻率隨著溫度的升高減小為零,其一階頻率在屈曲前變化很小。其次,不同邊界條件下,層合板的臨界屈曲溫度也發生了明顯的變化,對于四邊固支的層合板當溫度達到70.6 ℃時一階固有頻率值減小為零,層合板發生熱屈曲;而對于四邊簡支的層合板當溫度達到29.8 ℃時二階固有頻率值減小為零,層合板發生熱屈曲。

表1中列出了不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度。由表中可以發現,由MATLAB和ANSYS這兩種方法獲得的數值結果相吻合。隨著邊界條件的改變,復合材料層合板的臨界屈曲溫度值變化明顯。當邊界條件為CCCC時板的臨界屈曲溫度最高,而邊界條件為CFFF(F代表自由邊)時板的臨界屈曲溫度最低;固支的邊數越多,板的臨界屈曲溫度越高;若固支的邊數相同,則固支邊對稱設置時層合板的臨界屈曲溫度較高。

圖1　不同邊界條件下平板的溫度(t)-頻率(f)曲線圖Fig.1　Curves of temperature (t)-frequency (f) under different boundary conditions

表1　不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度

2.2不同鋪設角度下層合板的臨界屈曲溫度

在研究不同鋪設角度對層合板的臨界屈曲溫度的影響時,為了避免邊界條件的干擾,統一設置邊界條件為四邊固支(CCCC)。

當層合板的鋪設角度為[0/30/0/30]s時,通過MATLAB計算可得其臨界屈曲溫度為92.5 ℃;當鋪設角度為[30/30/30/30]s時,臨界屈曲溫度為65.0 ℃。運用ANSYS對這兩種鋪設角度下的層合板進行模擬可得其臨界屈曲溫度分別為90.4 ℃和66.5 ℃,與MATLAB的計算結果吻合良好。說明,改變鋪設角度會對層合板的臨界屈曲溫度產生明顯的影響。

表2列出了不同鋪設角度下層合板的臨界屈曲溫度。可以發現,[a/a/a/a]s(a>0)鋪設角度的層合板相對于[0/0/0/0]s鋪設角度層合板的臨界屈曲溫度較低,且a取某一數值時層合板的臨界屈曲溫度可達到最低值;而[0/a/0/a]s(a>0)鋪設角度的層合板相對于[0/0/0/0]s鋪設角度層合板的臨界屈曲溫度較高,且a取某一數值時層合板的臨界屈曲溫度可達最高值。

表2　不同鋪設角度下層合板的臨界屈曲溫度

3非均勻溫度場下復合材料層合板的熱屈曲問題

3.1不同溫度分布非均勻溫度場對層合板熱屈曲的影響

在研究非均勻溫度場對復合材料層合板臨界屈曲溫度的影響時,確保整個層合板吸收的總熱量一定,通過改變溫度分布得到不同的臨界屈曲溫度。為了排除纖維方向對結果的干擾,取各向同性的復合材料層合板,其各向參數為:彈性模量EL=200GPa,泊松比νLT=0.27,密度ρ=1 600kg/m3,熱脹系數α=2×10-6(℃)-1,幾何尺寸a=b=100 h,層合板的邊界條件為四邊固支(CCCC)。

圖2給出了不同熱源下層合板的溫度分布圖,不同熱源對應的溫度場函數分別為

a(熱源位于左邊界):f(x,y)=tmax×(1-x);

b(熱源位于中心線):f(x,y)=tmax×(1-2×|0.5-x|);

a-Left boundry line heat source;b-Center line heat source;c-Center point heat source;d-Vertex point heat source圖2　不同熱源下層合板的溫度分布圖Fig.2　Temperature distributions under different heat sources

通過MATLAB計算可得:當熱源在板的左邊界時,其臨界屈曲溫度為330.8 ℃,當熱源在板的中心線上時臨界屈曲溫度為288.3 ℃;當熱源在板的中心點時,其臨界屈曲溫度為251.3 ℃,當熱源在板的其中一個頂角時臨界屈曲溫度為346.5 ℃。運用ANSYS對這集中不同溫度分布下的層合板進行模擬,可得其臨界屈曲溫度分別為321.6,281.3,247.2,343.8 ℃。說明，即使整塊板所吸收的總熱量一定,但由于溫度分布不同,板的臨界屈曲溫度也會明顯不同,且熱源越接近板的中心位置其臨界屈曲溫度越低。

圖3給出了不同熱源對應的溫度(t)-頻率(f)曲線。可以發現,圖中各階頻率曲線變化趨勢非常相似,其中第2階和第3階頻率曲線非常接近但仍有分叉,這是因為不同的溫度場起到了各向異性的作用。其次,熱源靠近層合板的中心位置時(如圖3-c),板的臨界屈曲溫度最低(247.2 ℃),這是由于模態中心對溫度更敏感,而層合板的一階模態中心就在板的中心。

3.2不同邊界條件非均勻溫度場對層合板熱屈曲的影響

在層合板的左邊界施加線熱源形式的溫度場,通過改變邊界條件來分析臨界屈曲溫度的變化情況,其中溫度場函數為:

圖4給出不同邊界條件下層合板的溫度分布圖。其中,在設置邊界條件時,保持層合板上下兩條邊的邊界條件相同,變換左右兩邊的邊界條件。

圖3　不同熱源下層合板的溫度(t)-頻率(f)曲線分布圖Fig.3　Curves of temperature (t)-frequency (f) under different heat sources

a-CFSF;b-SFCF;c-FSCS;d-CSFS;e-FCSC;f-SCFC圖4不同邊界條件下層合板的溫度分布圖Fig.4　Temperature distributions under different boundary conditions

表3中列出了不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度。可以發現,MATLAB計算結果和ANSYS模擬分析得到的數值是相吻合的,隨著邊界條件的改變,板的臨界屈曲溫度發生了明顯的變化。由于(a)CFSF和(b)SFCF,(c)FSCS和(d)CSFS,(e)FCSC和(f)SCFC本質上分別屬于相同的邊界條件,當改熱源實施對應的邊的邊界條件時,相當于改變了熱源的位置,而溫度場的函數沒有變化,說明非均勻溫度場下不同的溫度分布也可以改變板的臨界屈曲溫度;此外,若層合板具有相同的上下邊界條件時(如圖4中a和b,c和d,e和f),當熱源加載在左右兩條邊界條件中約束力更強(C>S>F)的那條邊界上時,層合板的臨界屈曲溫度更大。

表3　不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度

4結論

1) 均勻溫度場下,層合板的臨界屈曲溫度與其邊界條件密切相關,層合板的固支邊數越多,板的臨界屈曲溫度越高;若固支的邊數相同,則固支邊對稱布置時板的臨界屈曲溫度較高。此外,[a/a/a/a]s(a≠0)鋪設角度的層合板相對于[0/0/0/0]s鋪設角度的層合板臨界屈曲溫度較低;而[0/a/0/a]s(a≠0)鋪設角度的層合板相對于[0/0/0/0]s鋪設角度的層合板臨界屈曲溫度較高。

2) 非均勻溫度場下,層合板的臨界屈曲溫度同時受熱源位置與振動模式的影響,如當熱源靠近層合板的中心位置時,由于層合板中心的一階模態中心對溫度更敏感,因此板的臨界屈曲溫度較低;另外層合板的邊界條件也會對臨界屈曲溫度產生影響。

參考文獻：

[1]黃懷緯,韓強,馮能文,等.溫度梯度下功能梯度材料圓柱殼的熱屈曲[J].華南理工大學學報,2009,37(6):101-106.

[2]TAUCHERTTR.Thermalbucklingofthickantisymmeticangle-plylaminates[J].Thermalstresses,1987,10:113-124.

[3]沈惠申,朱湘賡.中厚板熱后屈曲分析[J].應用數學和力學,1995,16(5):443-450.

[4]夏賢坤,沈惠申.功能梯度材料剪切板熱屈曲后的非線性振動[J].振動工程學報,2008,21(2):120-125.

[5]MATSUNAGAH.Freevibrationandstabilityofangle-plylaminatedcompositeandsandwichplatesunderthermalloading[J].CompositeStructures,2007,77(2):249-262.

[6]袁武,王曦,宋宏偉,等.輕質金屬點陣夾層板熱屈曲臨界溫度分析[J].固體力學學報,2014,35(1):1-7.

[7]LIJQ,NARITAY.Analysisandoptimaldesignforsupersoniccompositelaminatedplate[J].CompositeStructures,2013,101:35-46.

(編輯：李文娟)

The Thermal Buckling Behavior of Composite Laminated Panels under Uniform and Non-uniform Temperature Distribution

TIAN Xinpeng,LI Jinqiang,GUO Zhangxin,HAN Zhijun

(CollegeofMechanics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Abstract:On the basis of the classical Von Karman lamination theory in conjunction with the Hamilton’s principle, the thermal buckling behaviors under uniform and non-uniform temperature distributions were studied. Numerical results obtained by ANSYS were consistent with those by MATLAB software.It was found that the critical thermal buckling temperature of the laminated panels is associated with boundary conditions and laying angles under uniform temperature distribution,while the critical thermal buckling temperature of the laminated panels subjected to non-uniform temperature distribution is affected by temperature distributions, vibration modes and boundary conditions.

Key words:laminated panels;thermal buckling;boundary conditions;laying angles;temperature distribution

文章編號:1007-9432(2016)02-0264-06

*收稿日期：2015-04-30

基金項目：國家自然科學基金資助項目:熱致型纖維增強形狀記憶聚合物復合材料的沖擊損傷破壞(11502159);山西省自然科學基金資助項目: 非均勻溫度場中纖維增強復合板殼結構的振動特性分析及其優化設計(2015021014);太原理工大學教改項目:面向創新性人才培養的文獻檢索與利用課程改革的研究 (800302040287)

作者簡介：田新鵬(1990-),男,山西晉城人,碩士生,主要從事非均勻溫度場中復合結構動力學特性的研究,(E-mail)tianxinpeng521xy@163.com通訊作者：韓志軍,教授,主要從事沖擊動力學與彈塑性行動力學研究,(E-mail)hanzj12@126.com

中圖分類號:O242.21;O343.6

文獻標識碼:A

DOI：10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.02.027