考慮運動副間隙的函數(shù)機構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計

李欣玲，張均富，佘　霞， 李玉娟

(西華大學(xué)機械工程學(xué)院，四川 成都　610039)

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·機電工程·

考慮運動副間隙的函數(shù)機構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計

李欣玲，張均富*，佘霞， 李玉娟

(西華大學(xué)機械工程學(xué)院，四川 成都610039)

摘要：機構(gòu)的隨機因素使其運動輸出在名義值附近波動，從而導(dǎo)致機構(gòu)的運動精度和可靠性降低。為降低機構(gòu)運動輸出對隨機因素的敏感度，提高機構(gòu)運動品質(zhì)，提出一種考慮構(gòu)件尺寸公差和運動副間隙等隨機因素的機構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計方法。首先應(yīng)用截尾混合降維法建立間隙機構(gòu)運動誤差的概率模型，然后采用田口質(zhì)量損失函數(shù)導(dǎo)出機構(gòu)運動的質(zhì)量損失函數(shù)，再以此建立機構(gòu)的穩(wěn)健設(shè)計模型，最后以平面四桿函數(shù)機構(gòu)綜合為例，驗證其方法的有效性。結(jié)果表明，該方法能夠有效提高機構(gòu)運動的穩(wěn)健性，其設(shè)計所得機構(gòu)的運動誤差的平均均值和平均標(biāo)準(zhǔn)差分別比原機構(gòu)減小55%和25%。

關(guān)鍵詞：運動副間隙；運動綜合；穩(wěn)健設(shè)計；函數(shù)機構(gòu)

機構(gòu)的不確定性主要來源于材料屬性的分散性、尺寸公差、運動副間隙、裝配誤差以及運動過程中鉸鏈磨損的隨機性等。相比而言，運動副間隙對機構(gòu)運動輸出不確定性影響最大。運動副間隙的隨機性可以傳播到機構(gòu)系統(tǒng)的運動輸出，嚴(yán)重地影響機構(gòu)運動的輸出精度、動力學(xué)性能以及可靠性。隨著現(xiàn)代機械系統(tǒng)向高精度、高可靠和長壽命發(fā)展，考慮環(huán)境和自身具有的不確定性的真實機構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計必然成為重要研究課題。真實機構(gòu)的設(shè)計必然涉及機構(gòu)運動副的間隙問題[1]。

含運動副間隙的機構(gòu)運動學(xué)研究，主要是評價運動副間隙對機構(gòu)運動精度的影響。其處理方法有2種：確定性方法和不確定性方法。確定性方法的基本思路是將間隙處理成虛擬桿，進(jìn)而開展平面連桿機構(gòu)的運動精度分析和運動綜合[2-3]。在空間機構(gòu)方面有學(xué)者采用虛功原理[4]、旋量方法[5-6]等，對機構(gòu)的位置誤差進(jìn)行研究。在不確定方法方面，學(xué)者將區(qū)間代數(shù)[7]或概率統(tǒng)計理論[8-16]用于機構(gòu)的運動分析與綜合。概率統(tǒng)計方法主要用概率密度函數(shù)描述運動副間隙的隨機行為。概率方法雖不能揭示運動副的接觸狀態(tài)，但是對研究機構(gòu)運動可靠性方面是一種重要的方法。現(xiàn)有文獻(xiàn)中，一般均勻分布或正態(tài)分布常被用于建立運動副間隙的概率模型[8,14]；但是，對含運動副間隙的機構(gòu)可靠性問題分析，采用一次二階矩(FOSM)方法和一階可靠性(FORM)方法均會存在較大誤差，因為運動副銷軸中心被約束在間隙圓內(nèi)而使運動副間隙變量之間統(tǒng)計相關(guān)。為處理間隙變量的相關(guān)性，有學(xué)者提出了混合降維方法(hybrid dimension reduction method，HDRM)，該方法能夠很好地平衡可靠度求解的效率和精度問題，現(xiàn)已被用于平面函數(shù)機構(gòu)的可靠性分析和概率綜合[8,14-16]。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究含運動副間隙的機構(gòu)穩(wěn)健綜合方法，以期降低機構(gòu)運動精度性能指標(biāo)對系統(tǒng)存在的不確定性的敏感，提升機構(gòu)系統(tǒng)的運動品質(zhì)。

1機構(gòu)的運動誤差概率模型

圖1所示為含運動副間隙的平面四桿機構(gòu)。假定構(gòu)件尺寸Li(i=1,…,4)為服從正態(tài)分布的獨立隨機變量，并記L=(L1,…,L4)，則L～N(μL,σL)，其中μL=(μL1,…,μLn)，σL=(σL1,…,σLn)。Ci(i=1,…,4)為機構(gòu)回轉(zhuǎn)副，其間隙大小為rC(rC=rB-rJ,其中rB表示軸承半徑，rJ表示軸頸半徑)。

圖1　含運動副間隙的四桿機構(gòu)

以軸承孔幾何中心為參考點建立該運動副的局部坐標(biāo)系，則軸頸幾何中心在其對應(yīng)局部坐標(biāo)系中的位置為Cj(Xj,Yj)，(j=1,…,4)，如圖2所示。軸頸中心坐標(biāo)Xj、Yj為統(tǒng)計相關(guān)的隨機變量，這里假設(shè)其在間隙圓內(nèi)服從均勻分布，則有

(1)

假設(shè)機構(gòu)的真實運動輸出為ψ(S,θ)，期望輸出為ψd(θ)，則機構(gòu)的運動誤差可定義為

g(S,θ)=ψ(S,θ)-ψd(θ)。

(2)

式中：S=(L,(X,Y))；L=(L1,…,L4)為機構(gòu)尺寸變量；(X,Y)=((X1,Y1),…,(X4,Y4))為機構(gòu)的運動副變量；g(S,θ)為機構(gòu)運動誤差函數(shù)。

將式(2)改寫為

g(S,θ)=[ψ(S,θ)-ψ(μS,θ)]+[ψ(μS,θ)-ψd(θ)]。

(3)

由式(3)可見，機構(gòu)的運動誤差包括結(jié)構(gòu)誤差gstruct=ψ(μS,θ)-ψd(θ)和隨機誤差grand=ψ(S,θ)-ψ(μS,θ)。

圖2　運動副間隙

對誤差函數(shù)g(S,θ)截尾降維處理[8,14]得到

(4)

進(jìn)一步簡化得到

(5)

(6)

(7)

根據(jù)式(5), 誤差函數(shù)g(S,θ)的均值為

μg(S,θ)≈a0。

(8)

(9)

2機構(gòu)的穩(wěn)健性評估

開展穩(wěn)健設(shè)計，定義產(chǎn)品質(zhì)量損失函數(shù)是重要環(huán)節(jié)。通常，穩(wěn)健設(shè)計中質(zhì)量指標(biāo)定義為對產(chǎn)品質(zhì)量或用戶滿意度有著重大影響的重要響應(yīng)。對于機構(gòu)的穩(wěn)健設(shè)計，機構(gòu)的運動誤差即為其質(zhì)量指標(biāo)。由于在考慮機構(gòu)綜合時以追求運動誤差等于0為目標(biāo)，因此該質(zhì)量特性屬于名義值最好類型(the nominal-the-best type)[17]。由此可見，當(dāng)運動誤差等于目標(biāo)值時，機構(gòu)具有最佳品質(zhì)。

對于非精確點機構(gòu)綜合，其結(jié)構(gòu)誤差一般不等于0，因此其質(zhì)量指標(biāo)偏離目標(biāo)值。此外，由于隨機誤差的存在，機構(gòu)的實際運動誤差在其結(jié)構(gòu)誤差附近波動。根據(jù)田口穩(wěn)健性設(shè)計理念，機構(gòu)的運動誤差所具有的偏差會引起系統(tǒng)的質(zhì)量損失。穩(wěn)健設(shè)計中，常用田口質(zhì)量損失函數(shù)[18]度量系統(tǒng)的質(zhì)量損失。現(xiàn)假設(shè)機構(gòu)的質(zhì)量函數(shù)為Q，Q為機構(gòu)運動誤差g(X,θ)及其目標(biāo)值的二次函數(shù)。若將質(zhì)量函數(shù)Q在目標(biāo)值t處進(jìn)行泰勒二階展開，由于質(zhì)量函數(shù)Q(t)=0且為最小，則Q′(t)=?Q/?t=0；因此，質(zhì)量損失函數(shù)可以表示為

(10)

式中：t=0為運動誤差g(X,θ)的目標(biāo)值；W=?2Q/?t2由質(zhì)量損失模型確定。

由于質(zhì)量函數(shù)Q為機構(gòu)運動誤差g(X,θ)的函數(shù)，因此Q為隨機變量函數(shù)，其期望常被用于穩(wěn)健設(shè)計。質(zhì)量函數(shù)Q的期望

(11)

考慮到機構(gòu)運動誤差g(X,θ)為機構(gòu)曲柄轉(zhuǎn)角θ的函數(shù)，因此，對應(yīng)于指定曲柄轉(zhuǎn)角θ處有

(12)

在分析時需要對機構(gòu)指定運動區(qū)間離散，因此采用各離散點處質(zhì)量函數(shù)期望的平均值作為機構(gòu)運動的質(zhì)量損失，即

(13)

將式(8)、(9)代入式(13)即可進(jìn)行機構(gòu)的穩(wěn)健性評估。

3機構(gòu)的穩(wěn)健設(shè)計模型

(14)

μL≤μ≤μU；

dL≤d≤dU。

4實例分析

用圖1所示曲柄搖桿機構(gòu)實現(xiàn)正弦函數(shù)y=arctanx(x∈[0,1])，機構(gòu)運動的輸入輸出范圍分別為Δθ=100°和Δψ=45°。機構(gòu)運動輸出的允許誤差限為ε=0.4。設(shè)機構(gòu)的尺寸變量Li(i=1,…,4)服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差σLi=0.05，運動副間隙Cj(Xj,Yj)服從均勻分布，間隙半徑rc=0.02mm。

根據(jù)圖1，將機構(gòu)的曲柄存在條件、傳力性能約束處理為可靠性約束并采用一次二階矩(FOSM)方法求解可靠度，即

(15)

式中：μgci、σgci分別為gci(χ)的均值和方差，其中

gc1(χ)=L1-min(L2,L3,L4)≤0 ，

(16)

(17)

gc3(χ)=γL-min(γ1,γ2)≤0 ，

(18)

gc4(χ)=max(γ1,γ2)-γU≤0；

(19)

γL和γU分別為傳動角γ的許用下限和上限；γ1,γ2為機構(gòu)主動件與曲柄共線的兩位置處的傳動角，即

(20)

(21)

表1　機構(gòu)綜合的優(yōu)化解

考慮機構(gòu)的運動副間隙，采用截尾降維方法對確定性綜合解和含間隙的穩(wěn)健性解進(jìn)行機構(gòu)輸出誤差概率分析。圖3、圖4分別為2種綜合方法所得機構(gòu)運動誤差均值和方差。可以看出，采用穩(wěn)健設(shè)計并考慮機構(gòu)運動副間隙所得機構(gòu)的運動誤差的均值、標(biāo)準(zhǔn)差或方差均有明顯減小。相比原機構(gòu)，新設(shè)計方法所得機構(gòu)的運動誤差的平均均值和平均標(biāo)準(zhǔn)差分別比原機構(gòu)減小55%和25%。

圖3　機構(gòu)輸出誤差均值

圖4　機構(gòu)輸出誤差標(biāo)準(zhǔn)差

5結(jié)論

在剛性機構(gòu)系統(tǒng)的不確定性因素中，運動副間隙對機構(gòu)運動精度影響最大。為降低運動精度對運動間隙的敏感，提出一種同時考慮構(gòu)件尺寸公差和運動副間隙等隨機因素的穩(wěn)健綜合方法。建模時采用田口質(zhì)量損失函數(shù)導(dǎo)出機構(gòu)運動精度質(zhì)量損失模型，并采用截尾降維算法導(dǎo)出間隙機構(gòu)運動誤差的均值和方差。基于此，建立以質(zhì)量損失最小為目標(biāo)的平面四桿函數(shù)機構(gòu)的穩(wěn)健設(shè)計模型。數(shù)值實例表明，所提出的方法能夠有效減小機構(gòu)運動誤差的均值和方差、降低運動精度對隨機因素的敏感。該方法為高精度、高可靠、穩(wěn)健性好的機構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計提供了參考。

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(編校：饒莉)

Robust Synthesis of Planar Function Mechanisms with Joint Clearance

LI Xinling，ZHANG Junfu*， SHE Xia，LI Yujuan

(SchoolofMechanicalEngineering,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

Abstract:The random factors in the mechanisms make the output of the motion fluctuate around the nominal value. The fluctuation leads to the reduction of movement precision and reliability of the mechanism. In order to reduce the sensitivity of mechanism motion output which effected by uncertainty and improve the quality of mechanism motion, we propose a robust synthesis approach which taking random factors such as links dimensional tolerances and joint clearances etc into account. First the hybrid dimensional reduction method (HDRM) was used to establish the probability model of mechanism motion error with clearances. Then the Taguchi quality loss function was introduced to derivate the quality loss function of motion of mechanism, and the robust design model of planar path mechanism was established. Finally, the synthesis of planar function mechanism was given to illustrate the effectiveness of the proposed method. Verification result shows that the new design method can improve the robustness of mechanical motion effectively which was proposed in the paper, the average mean and mean standard deviation of motion error of designed mechanism reduced by 55% and 25%, respectively, which were lower than original mechanisms’.

Keywords:joint clearance; kinematic synthesis; robust design; function mechanisms

收稿日期：2016-01-08

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51275425)；四川省教育廳項目(12zz008)。

*通信作者：張均富 (1972—)，男，教授，博士，主要研究方向為機器人與機電一體化、 概率工程設(shè)計。E-mail：zhang_junfu@126.com

中圖分類號：TH112；TH115

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1673-159X(2016)03-0012-4

doi:10.3969/j.issn.1673-159X.2016.03.003