例說數學解題后的反思

盧瓊

【摘 要】闡述在數學解題后進行反思的方法，即反思問題的多種解法和一法多用，對問題進行推廣變形，探究解決問題的一般化，以提高學生的思維品質和解題能力，激發學生的學習興趣。

【關鍵詞】數學 解題 反思

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）04B-0116-02

數學少不了解題，而相當一部分同學是為了解題而解題，所以一旦題目獲解則心滿意足，且又將目光又轉入下一題，忽略了解題后的反思這一重要環節，從而在做題上很難使自己的認識得到提高，沒有在解題中收獲最大化。本文通過一道例題，說明解題后我們應該怎么反思，才能使學生的解題能力有更大的提高。

〖例〗已知數列 {an} 滿足 a1=1，an+1=2an+1，求 a2 ，a3 ，a4，并猜想 {an} 的通項，再用數學歸納法證明。

〖解法1〗由 a1=1，an+1=2an+1 得

a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，a4=2a3+1=15

故猜想 an=2n-1

證明（略）

一、通過反思以求得一題多解的方法

在數學中一道題目往往有多種解法，而且不同的解法會有不同的思路，在做題中適當地進行一題多解的反思會更好地開闊我們的視野，也能更使我們融會知識，貫通思想。一題多解一般來說就是從不同的角度，用不同的思路、方法和運算過程去分析、解答同一道數學題。通過一題多解，一方面可以防止學生因馬虎、粗心造成解題的錯誤，從而提高解題的質量；另一方面，可以提高學生的思維品質，培養和發揮學生的創造性。

（一）反思題目的結論，獲得新的解法

從這個解法中，我們知道，數學解題方法是多樣的，從不同的角度采用不同的解法得到相同的結果，讓我們知道殊路同歸的道理。

二、通過反思，完善數學的認知結構

數學是一門邏輯性強的學科，知識之間有著緊密的聯系，通過題后反思，能將所學知識連結起來，把所學到的知識在其數學認知結構中建立起相對完善的知識體系，從而使學生的認知結構更加完善。

（一）反思題目的變式，達到以例帶類

所謂“變式”，就是對題目進行合理轉化，讓命題的思想更好地顯露出來。在進行“變式”的過程中不斷更換命題中的非本質特征，如變換問題中的條件或結論，轉換題目中問題和形式，使學生從“變”中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，從而學會融會貫通，并從無窮的變化中領略數學的魅力，體會數學的樂趣。

如在本題所給的遞推關系an=2an-1+1中，有兩個常量，即 an-1 的系數 2 和常數 1，由此可以反思：（1）當這兩個常量改變時，以上的方法是否還能用？（2）從特殊到一般，如果將所給的遞推關系化為一般式 an+1=qan+p（p，q都是常數），那么將會有什么結論？

這種反思，對培養思維的概括性有著重要的作用，達到解一題會一類，以少勝多的目的。

（二）反思解題過程中的知識與思想方法

數學思想方法和一些思維策略總是蘊含于學習活動之中的，學生獲得數學思想方法的途徑總的來說有兩種，一是來自教師有意識的滲透和訓練；二是來自學生自己在解題反思過程中的領悟。在解題后的“反思”過程中，通過反思與整合，把相關知識和方法提煉出來而形成的數學思想方法，學生才會有更深的體會，也更易于接受。也就是說，學生在反思過程中，反思自己是怎樣發現和解決問題的，是如何找到突破口的，運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，其中又走過了哪些彎路，有哪些容易發生（或發生過）的錯誤，原因何在，該記住哪些經驗教訓等。在反思中認識和掌握數學思想方法，并用這種方法來指導自己進行數學學習與探究，從而對數學的理解實現由量變到質變的飛躍。

從解法 1 中我們應用到了歸納—猜想—證明的方法，這是一種重要的數學思想方法。而在解法 2 中，從結論入手將所求數列通過轉化為等比數列來求，又體現轉化思想的作用，實現了非特殊數列與特殊數列的相互轉化。解法3從條件入手，利用遞推關系將所求數列的通項轉化為等比數列求和來求，挖掘了條件的內在聯系，把具體思維對象的本質屬性提煉出來。

這樣通過反思讓學生把新舊知識連接起來，促使知識的同化和遷移 。同時幫助學生建立科學的知識結構和體系。為了達到這樣的教學目的，教師要給予學生比較充足的時間，讓學生有時間來對自己的數學學習思維進行反思。當然給學生時間還不夠，還要教會學生如何反思，要訓練學生養成反思的習慣。當學生自己學會主動去反思，養成總結解決問題的方法、技巧和經驗教訓，并從中領悟數學思想方法，提高思維層次，激發智力，挖掘潛能，在學習中學會舉一反三，在做題中不斷地提高探究能力，從題海中走出來，輕松地學好數學。

【參考文獻】

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（責編 盧建龍）