“構造法”在高中數學解題中的應用

劉顯奮

【摘 要】分析構造法在高中數學中的重要性，指出構造法是高中數學中一種常見的解題方法，對提高學生解題效率有很大幫助。以例闡述構造法在解決高中數學問題中的具體應用。

【關鍵詞】高中數學 試題解答 構造法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）04B-0155-02

高中數學是高中階段的主要課程之一，又是高考的重要考試科目，對學生的高考成績有著重要影響，所以學好數學、掌握數學的解題方法、提高考試成績是高中學生普遍面臨的問題。解答數學問題需要學生有一定的思考能力、想象能力、分析能力以及運算能力。在此基礎上，如果再能較好地運用構造法，就能比較快地提高數學學習成效。構造法是指在原來數學題目的基礎上，通過對題目中各個條件以及結論的一系列假設，并結合所學的各種數學理論、公式構造出滿足原題目中相關條件和結論的數學模型。本文以等差數列教學為例，探究構造法在高中數學解題教學中的巧妙應用。

一、構造法在高中數學中的重要性

高中數學對于很多學生來講是一個大難題，為了有效地提高數學解題速度和準確性，學生要掌握一定的解題方法和解題技巧。構造法在解答數學問題的實際應用中有著重要意義。簡單地講，構造法其實就是利用數學模型對原題目進行滿足題意的一種假設，進而達到解答問題的目的。構造法在高中數學解題過程中的應用實際意義就在于將題目中的“未知”條件轉化為“已知”條件，具有一種特別的化歸思想。數學中的數和形是相輔相成、不可分割的，可謂“數離開形少直觀，形離開數難入微”。在解答數學過程中利用構造法可以通過直觀的圖形模式將已知量和解題關鍵準確表示出來，借助數形結合思想巧妙地解題。構造法不僅可以用圖形方式進行解題，而且也可以用向量、方程、函數等方式進行解題，通過構造向量、方程以及函數來解答數學問題，幫助學生有效地解題。

二、構造法在高中數學解題中的實際應用

構造法是高中數學的重要解題方法，可適用于多種數學題型，所以學生有必要了解和掌握這種方法，以便提高自己的解題效率。典型的構造方法主要表現在構造輔助函數法、構造方程法、構造圖形法、構造數列法及構造向量法。方程式是高中數學的重要學習內容，幾乎貫穿整個高中數學課程，所以學生對方程式很熟悉。在高中數學題目中，方程式往往以與函數或者其他數學內容相結合的形式出現，這在很大程度上增加了題目的復雜性，提高了解題難度。在解答此類型題目時可以結合構造法思想，根據題目中的數量關系以及結構特征構造一個等量式，對題目中的方程式等量、未知量相關性進行分析，使數學題目更為具體化、直觀化以及簡單化，進而讓學生迅速計算出正確答案。

如題目“如果（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求證m，n，x為等差數列”。這個題目中如果采用一般解題方法會很復雜，而如果采用構造法將題目中的條件與結論聯系起來就變得簡單很多，結合題目構建方程式：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，假設△=（m-n）-4（n-x）（x-m），則可得△=0，那么所構建方程式中的實數根相等，進而得出t=1，所構建方程式的兩個實數根均等于1。然后結合韋達定理得出m+n=2x，由此可以證明題目中m，n，x為等差數列。這種類型的題目對于很多學生來講是有一定難度的，但如果結合特殊方法就可以將難題簡單化，并快速得到正確答案。

又如，向量是數學研究的一種重要應用工具，具有一定抽象性和復雜性，不論是在高中數學中的不等式證明、平面幾何、函數還是方程等題型中都有重要的應用價值。對于題目中比較復雜的數學模型，學生可以結合題意通過聯想構造向量的方法將復雜問題簡單化。例如題目：

m，n，a，b，c，d∈R+，而且，，請判斷 p 和 q 的大小。

該題目的解答過程中可以先將 p 和 q 的表達式轉化為向量形式，并引入兩個代向量 h和 k，使，，通過分析可以由 h 和 k 的乘積對不等式進行簡化。根據不等式的基本性質可得，將各個量值代入，經過關系轉化、運算后可得到，即 p≤q。

再者，函數在高中數學題目中一般會和方程放在一起。函數、方程均為高中數學教學的關鍵內容，是高中數學考試的重點、熱點，同時也是難點。函數具有一定抽象性，所以對學生的空間想象能力以及分析能力要求較高，是困擾學生的主要數學問題之一。對于高中數學函數題型，學生需要有針對性的解題思想，掌握有效的解題技巧，通過特殊渠道將復雜、抽象的函數問題直觀化、簡單化，進而找到解題主線，得出正確答案。高中數學的很多題目中，不論是幾何題型還是代數題型都含有一定的函數思想，因此在解答過程中要對問題進行分析、想象，充分利用函數構造方法對題目中的數量關系進行簡化再進行解答，這樣思路就清晰很多。

例如題目“m，n，a∈R+，且n

還有，在解決高中數學問題中，選擇圖形解題方法，可使復雜抽象的問題簡單化或者形象化，增加問題的直觀性，有助于培養學生的數形結合思想。

例如，，其中（0≤x≤4），對其最小值進行求解。

依照題意可對該題目實施圖形構造，通過構造直角三角形，盡可能地簡化該問題。

通過分析圖1，可得出AB⊥BD，AB⊥AC，當AB，AC，BD的取值設定為4，1，2時，在AB上有一個動點O，為此設AO=x，此時就可以得出，，如果想要的值最小，只需要將OC+OD的最小值求出，就可以得出的最小值。

構造法是數學解題中常用的一種方法，其在數學解題中應用不僅能夠幫助學生開拓解題思路，而且對培養學生的創新能力和多元化思維具有重要的作用。構造法的應用在一定程度上對學生的思維能力以及創新能力的培養有促進作用。

綜上所述，高中是一個比較特殊的學生階段，由于面臨著高考的問題，高中學生的課程繁多，每天都要浸泡在浩瀚如煙的習題中，給學生造成極大的壓力。伴隨著現代教學模式的不斷改良，過去的教學形式已經難以順應現代的高中教學發展。構造法作為一種創新式的解題方式，不僅更好地發揮了學生的積極主動性，而且極大地改良了數學解題模式，對于學生自主分析能力的提升方面有著很好的促進作用，對高中數學教學質量的提高起著至關重要的推動作用，值得在數學教學中積極倡導與應用。

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