高中數(shù)學(xué)一元二次含參不等式的解法探討

張明

摘 要： 新課標(biāo)改革背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作面臨新的標(biāo)準(zhǔn)要求，選取高中數(shù)學(xué)一元二次含參不等式這一課時(shí)內(nèi)容加以探究，結(jié)合普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求與建議，以及本校實(shí)際教學(xué)情況、現(xiàn)有成果，探究高中數(shù)學(xué)一元二次含參不等式的解法，真正打造以學(xué)生為主體的課堂，提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 一元二次含參不等式 教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題提出

在新課程不斷深化改革的教育背景下，以我校（高中）數(shù)學(xué)教學(xué)工作為例，課程體系、教學(xué)內(nèi)容設(shè)置發(fā)生了很大變動(dòng).在這種情況下，我們必須重新審視高中數(shù)學(xué)教學(xué)，例如，在“教”與“學(xué)”的過程中，新課標(biāo)要求數(shù)學(xué)教師要以學(xué)生學(xué)習(xí)為主體，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)的感受和理解，有意識培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)的心態(tài)思維.對于數(shù)學(xué)這門學(xué)科來說，最大的教育價(jià)值就在于培養(yǎng)、提升學(xué)生的創(chuàng)新能力、思維能力，本質(zhì)強(qiáng)調(diào)的就是事物不斷變化發(fā)展規(guī)律.簡單一點(diǎn)講，是指在課堂教學(xué)、教學(xué)設(shè)計(jì)中，注重學(xué)生發(fā)生問題、分析問題、解決問題的過程式能力培養(yǎng)，這是一種數(shù)學(xué)思想方法的滲透，目的很明確，就是讓學(xué)生學(xué)以致用.一元二次含參不等式這一章節(jié)內(nèi)容在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系內(nèi)，占據(jù)重要地位，是高中集合知識的鞏固與整合，同時(shí)也是導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃、直線與圓錐曲線等知識認(rèn)知的基礎(chǔ)，更重要的是蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法中最本質(zhì)的一項(xiàng)，包括歸納、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等.因此，一元二次含參不等式的解法在整個(gè)高中代數(shù)中扮演著不可替代的工具作用，尤其在普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)出臺之后，在該課時(shí)教學(xué)環(huán)節(jié)，更注重課前教學(xué)設(shè)計(jì)、課后反思及課中情境創(chuàng)設(shè)教學(xué)模式.

二、一元二次含參不等式解法

關(guān)于高中數(shù)學(xué)一元二次含參不等式的解法，以及相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)，在該教學(xué)工作中，必須注重這一問題，在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)層面，可堅(jiān)持從兩個(gè)方向切入.首先是強(qiáng)化學(xué)生的分類意識，合理分類，其次是確定討論對象.以一元二次含參不等式該章節(jié)為例，確定討論主題環(huán)節(jié)包括三類，第一類是討論二次項(xiàng)系數(shù)型，第二類是討論判別式型，第三類是討論根的大小型.這里簡單探討前兩種最常見、過程相對容易的解題策略.

（一）二次項(xiàng)系數(shù)

二次項(xiàng)系數(shù)是我們在高中數(shù)學(xué)一元二次含參不等式學(xué)習(xí)中最常見的一種題目類型，如題目1“m∈R，求解不等式m x +2mx-3<0中的x取值范圍？”

對于題目1這種題型，首先要探討分析其中二次項(xiàng)系數(shù)，學(xué)生清楚地看到二次項(xiàng)系數(shù)是用字母表示的，在這種情況下，學(xué)生最先想到的應(yīng)該是分析二次項(xiàng)系數(shù)的兩種情況，為0時(shí)，不為0時(shí).然后分類討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，該一元二次含參不等式就變成了一元一次不等式.緊接著解出“-3<0”，該不等式恒成立；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，可以將上述一元二次含參不等式分解，分解后得出（mx+3）（mx-1）<0，計(jì)算到該步驟環(huán)節(jié)，可以將該不等式的兩個(gè)根表示出來，x =3/m，x =1/m.第三步就是分類探討m的另一種情況，即m>0時(shí)和m<0時(shí).當(dāng)m取值大于0時(shí)，x的解的集合表示為{x|-

最后，將上述所有探討分析的情況統(tǒng)一歸納，最終得出正確的解題答案：

①當(dāng)m>0時(shí)，x的取值范圍-

②當(dāng)m=0時(shí)，x∈R；

③當(dāng)m<0時(shí)，x的取值范圍

（二）判別式

一元二次含參不等式例題2“求解2x +ax+2>0方程中的x”.以例題2為例，對于例題1而言，可以直接探討分析二次項(xiàng)系數(shù)，也就是其中的字母，但對于例題2不等式，當(dāng)其中有字母，并且不容易觀察到該字母對應(yīng)方程是否存在實(shí)根的時(shí)候，解題策略是討論判別式，思路保持不變，合理分類、確定討論.

第一步，令不等式等于0，即2x +ax+2=0，然后分類探討三種情況：

①當(dāng)△=a -16<0時(shí)，不等式大于0恒成立；

②當(dāng)△=a -16>0時(shí)，可求出方程式的解，即在小于小根、大于大根的范圍情況下，不等式恒成立.

③當(dāng)△=a -16=0時(shí)，求出方程式的解，在實(shí)根以外的范圍內(nèi)，不等式恒成立.

首先，△<0，即-4

其次，△>0，即a<-4或者a>4，得出原不等式的兩個(gè)方程根，x = （-a- ），x = （-a+ ）.

最后，△=0，即a =16，進(jìn)一步得出a=±4，在±4的情況下，x的解為-a/4，計(jì)算得出一元二次含參不等式中x解范圍為x∈R且x≠-a/4.

三、解題過程中常見錯(cuò)誤及注意事項(xiàng)

一元二次含參不等式是高一的一章節(jié)內(nèi)容，對學(xué)生整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響重大.高一數(shù)學(xué)中的一元二次不等式與初中階段相比較，兩者應(yīng)當(dāng)是一種過渡關(guān)系，是高一學(xué)生對一元二次含參不等式概念、形式了解比較模糊的主要原因，因?yàn)榻佑|到的大多數(shù)學(xué)生比較容易受思維定勢的影響，在學(xué)習(xí)和解題過程中經(jīng)常忽略掉二次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍，特別對個(gè)別特殊的解集的判定，比較容易混淆.其次，就是學(xué)生對一元二次含參不等式求解能力有待進(jìn)一步強(qiáng)化，很多學(xué)生對它的性質(zhì)理解不夠透徹，包括數(shù)學(xué)知識間的邏輯聯(lián)系、集合關(guān)系與不等式解集之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以及分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化等.總體來看，在新課標(biāo)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)繼續(xù)強(qiáng)化課堂分類討論解題思想，在具體細(xì)節(jié)上加以改造，側(cè)重對學(xué)生數(shù)學(xué)解題思想的運(yùn)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊春娟.含參一元二次不等式的解法與恒成立問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（高中版），2015（2）：28.

[2]劉正權(quán).用已知求未知——高中數(shù)學(xué)函數(shù)中一類含參問題解法分析[J].中學(xué)教學(xué)參考，2014（8）：42.

[3]陳建紅.含參數(shù)不等式的解法[J].新課程學(xué)習(xí)：基礎(chǔ)教育，2012（10）.