應用最大熵方法改進楊赤中負權系數

陳天偉，盧獻健 ，江海東

(1.桂林理工大學 廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541004; 2.中南大學，湖南 長沙 410083)

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應用最大熵方法改進楊赤中負權系數

陳天偉1，盧獻健1，江海東2

(1.桂林理工大學 廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541004; 2.中南大學，湖南 長沙 410083)

摘要：楊赤中插值法數學模型在解算權系數時存在負權現象，文中初步分析了負權的分布規律，增設非負約束條件，利用最大熵原理分析模型系統對空間權重系數的依賴度，研究消除格網DEM插值的負權問題。通過MATLAB編程驗證算法的正確性、準確性，并與二次規劃法進行比較。對比顯示最大熵法解得權系數大小比例與點位關系相適應，且其估值精度優于二次規劃法。

關鍵詞：楊赤中插值；負權；最大熵法；約束條件

數字高程模型(DEM)作為國家現代經濟發展的基礎數據，具有極其重要的意義。然而DEM的精度(尤其是空間分析更為依賴的規則格網DEM)仍有待提高。規則格網 DEM由數學插值方法得到，其中，楊赤中插值法是由我國地學專家提出的一種最優線性無偏估計的方法，基本理論是將空間域內的變量(如高程、礦石品位等) 看成是具有基本變化,同時又伴隨有隨機變化的復合變量。用楊赤中濾波將復合變量分離成基本變化和隨機變化兩部分。用分離出來的隨機變化部分建立起能反映空間域變量隨機性與相關性的楊赤中函數，進而實施楊赤中插值，對未知點空間屬性及插值精度進行估計[1-2]。

根據條件極值原理得到楊赤中方程組

(1)

1原理

最大熵理論的數學模型為

(2)

其中：gj(j=1，2，…，m)表示各階統計矩函數，E(gj)表示已知各階統計矩的數學期望值，Pi為產生權系數的概率，S[p]為系統熵值。

因為空間離散數據存在離散性，估值權系數同樣是離散的、隨機的。假設由楊赤中法算得某待估點的估值權系數為λ1,λ2,…,λn,其中存在若干負權值，利用最大熵原理建立方程組如下：

模型系統的熵值

(3)

約束條件

(4)

其中：約束條件的第1式即0階矩約束(或稱自然矩約束)，第2式即1階矩約束[6]。E(λ)是期望值，由于隨機變量λi的原點矩等于相應的樣本矩[7]，E(λ)可利用參考點與估值點距離反比例賦權，對參與估值計算的參考點權系數取加權平均值算得，令C=E(λ)。

根據最大熵的要求，構造拉格朗日函數

求偏導數得到如下方程：

解得

(5)

(6)

(7)

聯立式(5)、(6)、(7)，可解得u0,u1,pi(i=1,2,…,n)的值。

2實例運行

實例：在某山地區域1∶1萬地形圖提取離散特征高程點60個，選取某待估點作插值運算，按極限半徑搜索待估點四周的參考點，得到5個參考點。分別采用楊赤中法、最大熵法、二次規劃法3種方法計算估值權系數進行對比，如表1所示。

根據楊赤中法，不考慮負權問題，即直接解算方程組(1)，計算結果見表1的第2行，可以看出，λ3=-0.078 5,λ4=-0.039 6，結果證明負權問題是存在的。

-0.334 2eλ1u1-0.308 9eλ2u1-0.469 7eλ3u1-

0.430 8eλ4u1+0.587 7eλ5u1=0.

數據帶入式(5)、(6)，聯立上式，利用MATLAB 軟件用fzero函數求解[8]。其算法是二分法、Secant法和逆二次內插法的組合。可解算得各Pi值即修正后權系數，得到結果見表1第3行，可見最大熵法能消除空間權重系數負值現象。

利用二次規劃法解算權系數，參照楊赤中方法算得的權系數，取權系數初始值為[0.060.080.0010.0010.95]，計算結果見表1第4行。

對研究區域劃分12.5 m×12.5 m格網，利用上述3種方法分別進行格網點高程插值，抽樣統計格網點的高程插值中誤差，結果對比如表2所示。

參考點、待估點的點位分布及楊赤中法算得權值如圖1所示。

表1　3種方法參考點及權值對比

表2　3種方法高程插值中誤差的對比　m

圖1　參考點、待估點的點位分布

3分析和結論

由表1數據可見，楊赤中法存在負權現象。二次規劃方法雖然能消除負權現象，但是得到的權值分布不合理，離待估點最近的參考點權值接近0值，遠離待估點的參考點權值卻是最大的，此現象不符合空間數據自相關的統計規律，那么該法數值模擬得出的數學模型也是不穩健、不合理的。而最大熵法能消除空間權重系數負值現象，且得到的權值大

小比例分布與參考點位分布協調一致,不僅能客觀反映出空間離散數據對其數值模擬得出的數學模型貢獻程度，也使得模型系統更加穩健。再由表2數據可見, 最大熵法算得的估值精度優于另外兩者，且滿足國家有關DEM建模精度的規范要求[9]。

參考文獻：

[1]楊善慈. 楊赤中濾波與推估法概要[M]. 長沙: 中南工業大學出版社, 1991：4-7.

[2]陳天偉.基于楊赤中法DEM對地形斷裂線的處理[J]. 桂林工學院學報，2009，29(3):378-381.

[3]侯景孺,郭光裕.礦床統計預側及地質統計學的理論和應用[M].北京：冶金工業出版社,1990.

[4]彭軍還.函數模型對楊赤中估值系數的影響[J].桂林工學院學報，1996，16(2):178-180.

[5]朱慶林,郭佩芳.港口資源基于熵權的多目標決策評價模型[J].山東農業大學學報(自然科學版)，2005，36(2):259-261.

[6]姜昱汐，李興斯.估計死亡率分布的一個最大熵模型[J].運籌與管理，2005，14(4): 7-10.

[7]程亮.最大熵原理與最小熵方法在測量數據處理中的應用[D].成都：電子科技大學，2008:14-15.

[8]陳杰.MATLAB寶典[M].北京：電子工業出版社，2007.

[9]江帆. DEM表面建模與精度評估方法研究[D].鄭州：信息工程大學，2006:5-6.

[責任編輯：劉文霞]

Improvement of Yang Chizhong’ negative-weight based on method of maximum entropy

CHEN Tianwei1，LU Xianjian1, JIANG Haidong2

(1.Guilin University of Technology, Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics, Guilin 541004， China; 2.Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract：There is negative-weight in Yang Chizhong model,so the spread regular pattern of negative-weight is researched, and nonnegative constraint is set up. The principle of maximum entropy is utilized to analyze the model system which depends on modulus of space weight.The clearing up of negative-weight is studied for the interpolation of gridding DEM. The correctness and accuracy of the method are validated with matlab’s programming, compared with the method of quadratic program. Comparison shows that the volume and scaling of maximum entropy’s weight fit to the reration of space, and its accuracy is superior to the method of quadratic program.

Key words：Yang Chizhong interpolation; negative-weight; maximum entropy; constraint condition

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.07.007

收稿日期：2015-02-28

基金項目：國家自然科學基金資助項目(41161072)；廣西自然科學基金資助項目(2011GXNSFA018001); 廣西空間信息與測繪重點實驗室資助課題(桂科能1207115-08)

作者簡介：陳天偉(1965-)，男，副教授，碩士.

中圖分類號：P208

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)07-0033-03