桁架結構幾何非線性優化設計在石油井架設計中的運用

摘要：在現實生活中，類似石油井架的一些桁架結構形式較多，而在進行該類結構的設計時，還需使用幾何非線性優化設計方法，才能獲得更為精確的設計結果。文章在對桁架結構幾何非線性優化設計問題展開分析的基礎上，在石油井架設計中進行了該種設計方法的運用。

關鍵詞：桁架結構；幾何非線性優化設計；石油井架設計；有限元靜力分析 文獻標識碼：A

中圖分類號：TE922 文章編號：1009-2374（2016）17-0009-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.201617.004

作為石油鉆采機械的重要組成部分，石油井架的設計得到了石油行業的重視。但就目前來看，使用線性穩定分析和有限元靜力分析方法進行井架的設計，將無法滿足所有井架的應用需求。因此，還需要在石油井架設計中進行桁架結構幾何非線性優化設計方法的運用，從而更好地滿足石油工業的發展需要。

1 幾何非線性分析的概念

在工程設計過程中，通常使用的理論都是線彈性理論，比如幾何方程、平衡方程和物理方程等。但是一些實際工程并不能保持上述線性關系，所以就無法使用線彈性方程進行工程力學關系的描述。例如，工程結構形狀的不連續變化、在外載荷作用下出現的工程結構局部材料進入塑性、鋼架結構大變形和高溫下的結構蠕變，都屬于需要利用非線性理論描述的問題。而在工程結構的非線性分析中，又可以劃分成幾何非線性、材料非線性和狀態非線性。所謂的幾何非線性，其實就是其應變位移是非線性的。比如，工程結構出現的大位移、大轉動和小應變問題，就屬于幾何非線性問題。

與線性方法不同，幾何非線性方法使用的小變形線性理論平衡方程需要在工程結構未發生變形的情況下建立。但是在實際生活中，平衡方程需要在變形之后建立。所以結構變形狀態將與平衡狀態出現差異，這種差異則會對結構設計產生一定的影響。使用幾何大變形結構分析理論，則能夠使二者保持統一協調。此外，采用線性分析方法，一定能夠獲得問題的解。但是，使用幾何非線性分析方法，在桿件界面過小或荷載過大的情況下，就可能無法求到解。而這也說明，工程結構可能不存在變形與平衡統一的狀態。

2 桁架結構的幾何非線性優化設計方法

2.1 桁架結構的幾何非線性穩定性分析

針對小變形桁架結構，可以使用幾何非線性歐拉理論進行結構穩定性的分析。而使用該理論，其實就是以歐拉穩定條件為臨界點理論的約束條件，可以順利求得方程的正確解。在任何桁架結構中，該方法都能夠適用。而針對高荷載和大截面的桁架結構，也可以通過將其自動歸結為臨界點理論進行問題的求解。具體來講，就是在桁架變形狀態下進行平衡方程的建立，然后利用幾何非線性理論進行結構穩定性的分析。但此時，結構變形是未知的，所以還需要使用迭代的方法進行求解，并且直到前后兩次迭代的解的誤差小于給定誤差。在進行迭代求解時，需要使用線性平衡方程進行內力向量的求解，然后利用歐拉穩定條件進行桿件的橫截面積的修改。針對細長圓桿，需要進行材料對應的長細比下界的設置，而針對中長桿和短桿，需要有相應的穩定條件，以便對橫截面積的修改進行約束。完成該兩個步驟之后，需要使用胡克定律進行各桿變形量的求解。但是，如果遭遇超靜定問題，則需要進行與自由度數相同個數的桿件變形量的計算。此時就不需要進行其與桿件變形量的計算，但是需要得到桿件的內力值。根據計算得到的桿件變形量，可以對各節點位移進行計算，然后進行節點位移向量的求解。在這一過程中，需要先進行各桿的變形量，然后再計算長度。針對已經變形的幾何構形，需要建立內力平衡方程，然后進行平衡方程的求解，從而得到待定的內力。最后根據求得的結果，就可以判斷桁架結構是否穩定。

2.2 桁架結構的幾何非線性優化設計

2.2.1 優化模型。完成桁架結構的幾何非線性穩定分析后，就可以使用工程結構優化設計方法進行工程結構的優化。利用該方法可以將優化算法與結構分析結合起來，從而得到滿足設計要求的最優設計方案。針對確定幾何形狀和給定拓撲安排的桁架結構，想要進行結構的優化設計就可以重量極小為目標。而結構優化設計模型如下式，需要進行A的范圍的求解：

式中：A為桿件的橫截面積，即設計變量向量；則為某個方向的位移界限；為給定應力上下限；為尺寸上下限；N、M、N1、Lk和ρk分別為設計變量總數、位移約束總數、桿件總數、第K類桿件長度和第K類桿件的重度。

在處理該模型時，需要使用準則法，并且按照應力法進行應力約束的處理，以便形成相應的函數。在此基礎上，通過適當變換就可以得到迭代公式，然后通過求解獲得桁架結構的線性優化設計結果。而由于整個過程未進行本構關系的引入，所以也可以利用該模型求解桁架結構的非線性優化設計問題。

2.2.2 桁架的靜力分析。針對空間桁架結構，可以使用Newton-Raphson法進行結構的靜力分析。在分析的過程中，可以采取單元剛度陣進行桿件的局部坐標系的表示，從而使結構坐標得到適當的整理，繼而滿足優化公式推導需要。在此基礎上，還要將公式轉換成全局坐標系，從而對結構的整體穩定情況進行掌握。考慮到大部分桁架結構整體失穩時會出現位移發散現象，而一些結構則會出現位移過大或位移振蕩不收斂的問題，所以在利用模型求解后，一旦位移收斂于有限的確定值，就可以認為結構整體比較穩定。

2.2.3 桁架的敏度分析。就目前來看，在使用幾何非線性分析法進行桁架結構的優化設計時，通常需要使用位移對設計變量的導數。所以在結構優化設計的過程中，還需要進行位移靈敏度的求解。針對線性問題則可以利用一些推導能用顯式進行位移對設計變量的導數的表達，但是針對幾何非線性問題，考慮到位移與載荷之間的非線性關系，則需要使用其他方法進行結構的敏度分析。具體來講，就是需要將位移靈敏度顯式進行兩邊求導。在求導的過程中，需要對設計變量求偏導，從而得到關于位移靈敏度的線性方程組。而在該方程組中，結構剛度矩陣是在幾何非線性的影響下得到的，所以還可以根據總剛的組裝規則進行公式的簡化。最后通過求解位移靈敏度的系數矩陣，就能夠得到單元剛度陣有所改變的桿件設計優化結果。

2.2.4 桁架的近似重分析。在進行桁架結構的優化設計時，往往需要進行設計變量的多次修改，從而得到最優的設計方案。而在每次進行方案的修改后，都需要進行結構的重分析。但是非線性問題的重分析則需要較大的計算量，所以將導致設計矛盾的出現。因此為了利用幾何非線性優化設計方法進行大型實際結構的優化設計，還需要使用近似重分析法對修改后的設計方案進行分析。使用該方法，其實就是直接將一次迭代的計算結果作為二次迭代的輸入值，并且直至兩次迭代相差不大。但在解決線性問題時，由于需要進行剛度陣的重新組裝，所以使用該方法并沒有實際意義。在幾何非線性問題的解決上，使用該方法可以將幾十次迭代過程簡化成一兩次迭代，所以能夠有效降低非線性分析的工作量。

3 桁架結構的幾何非線性優化設計在石油井架設計中的運用

在生產的過程中，石油井架時常會出現破壞現象，從而給石油企業的生產帶來阻礙。所以在設計石油井架的過程中，還應該實現井架結構的優化設計，從而使井架得到更好的應用。而考慮到井架結構形式多樣，并且承受的載荷并不相同的問題，還需要使用幾何非線性桁架結構優化設計方法對井架設計進行優化。

3.1 平面桁架的優化設計

通過將上述方法編寫成計算機程序，就可以利用幾何非線性優化設計方法進行平面桁架的優化設計。而石油井架的平面桁架結構具有39根桿件，各桿件許用應力為1.5×108N/m2，截面積下限和上限分別為1cm2和1000cm2，各桿截面積的初始設計值為50cm2。使用幾何非線性方法進行該結構的優化設計，可以將設計縱向邊緣節點的y向位移不超過±7cm，并且橫向邊緣節點的水平位移不超過±1cm，從而對結構變形進行約束。而通過優化設計，則能夠發現得到的目標函數和桿件截面積與線性優化設計結果有較大的差異。

3.2 A型井架的優化設計

針對A型井架結構，其大腿橫截面為邊長1.5m的等邊三角形，結構內共有188個桿件，自由度174個，橫截面初始設計值為40.21cm2，并且以橫桿、斜桿和弦管為設計變量。同時各設計變量下限為5.88cm2，應力約束為1.6×108N/m2，并且需要承受自重、鉤載和風載。在使用幾何非線性方法進行該結構的優化設計時，可以將頂部y向位移不超過±12cm，然后通過載荷簡化將每個節點沿z向的作用力設定為-3×103N，從而實現對該結構的優化設計。

4 結語

總而言之，相較于線性計算方法，非線性計算方法將更加精確。在進行一些高柔結構的優化設計時，使用幾何非線性設計方法將得到差別較大的計算結果。而在現實生活中，包括石油井架在內的很多桁架結構都屬于高柔結構，所以還需要使用幾何非線性方法進行結構的優化設計，從而提升結構的穩定性。因此，通過本文對桁架結構的幾何非線性優化設計問題展開分析，可以為相關工作的開展提供指導。

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作者簡介：劉斌（1979-），男，四川長寧人，四川宏華石油設備有限公司機械工程師，研究方向：石油鉆井機械設計。

（責任編輯：黃銀芳）