N=1超對(duì)稱修正KdV方程的相互作用波解

梁祖峰，王建勇

(1. 杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036；2. 衢州學(xué)院數(shù)理系，浙江 衢州 324000)

N=1超對(duì)稱修正KdV方程的相互作用波解

梁祖峰1，王建勇2

(1. 杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036；2. 衢州學(xué)院數(shù)理系，浙江 衢州 324000)

摘要：通過一般玻色化方法把N=1超對(duì)稱修正KdV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成耦合玻色化系統(tǒng)，其分量場(chǎng)定義在無窮維偶Grassmann代數(shù)Ge上.通過相容tanh函數(shù)展開法得到了系統(tǒng)的相互作用波解，給出了孤子與橢圓余弦波的相互作用的圖像表示.

關(guān)鍵詞：超對(duì)稱修正KdV系統(tǒng)；玻色化方法：孤子-周期波相互作用波解

在過去幾十年中，可積系統(tǒng)的超對(duì)稱擴(kuò)展受到了廣泛關(guān)注，許多方法也在超對(duì)稱框架下得到了相應(yīng)的擴(kuò)展，借此研究了許多可積系統(tǒng)及其超對(duì)稱擴(kuò)展方程的各種性質(zhì).研究顯示，超對(duì)稱系統(tǒng)與其對(duì)應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)有著諸多類似的特性，如超對(duì)稱KdV方程也有無窮多守恒律[1]、雙哈密頓結(jié)構(gòu)[2-3]、雙線性形式[4-5]、達(dá)布變換[6-7]等.近來，描述孤子和橢圓余弦波間的相互作用波解已經(jīng)通過若干方法得到.如通過達(dá)布變換作用到背景橢圓余弦波上得到了非線性薛定諤方程的孤子和多孤子復(fù)合在橢圓余弦波上的嚴(yán)格解[8-10]；結(jié)合對(duì)稱約化和達(dá)布變換或貝克隆變換得到了KdV方程的相互作用波解[11-12]和Sine-Gordon方程的非局域拓?fù)涔伦咏鈁13].而且KdV方程的相互作用波解的極限情況給出了一類特殊的nanopteron解的解析表示[14]，這是一個(gè)類似孤子穩(wěn)定但又不局域的波[15].已有的研究表明許多非線性系統(tǒng)都具有這類相互作用波解，但是這類波在非線性超對(duì)稱系統(tǒng)中的研究還非常有限.

玻色化方法是一個(gè)簡(jiǎn)化處理量子場(chǎng)論中復(fù)雜玻色場(chǎng)的方法[16-17].最近建立的一種簡(jiǎn)單的玻色化方法可以處理帶有費(fèi)米場(chǎng)的可積系統(tǒng)[18-20]，如超可積系統(tǒng)[21-22]、超對(duì)稱可積系統(tǒng)[23-26]以及純可積費(fèi)米系統(tǒng)[27].其基本思想是通過在一個(gè)有限或無限維偶Grassmann代數(shù)上定義波色場(chǎng)，把超場(chǎng)按費(fèi)米參數(shù)展開得到玻色系統(tǒng)，再通過此玻色系統(tǒng)的研究得到原超對(duì)稱系統(tǒng)的諸多性質(zhì).玻色化方法最主要的優(yōu)勢(shì)在于可以有效避開費(fèi)米場(chǎng)的非對(duì)易性帶來的困難.該方法已經(jīng)應(yīng)用求解了一些模型，如N=1SKdV系統(tǒng)[18-20]和N=1SUSY Ito系統(tǒng)[28].

本文重點(diǎn)研究超對(duì)稱SMKdV系統(tǒng)的相互作用波解.該系統(tǒng)是修正KdV方程ut-6u2ux+uxxx=0的N=1超對(duì)稱形式[1,29]

Ψt+Ψxxx-3Ψ(DΨx)(DΨ)-3(DΨ)2Ψx=0,

(1)

其中D=?θ+θ?x是通常的超導(dǎo)數(shù)，場(chǎng)Ψ是定義在超時(shí)空(x,t,θ)上的Grassmann奇函數(shù)Ψ(x,t,θ)=ξ(x,t)+θu(x,t)，代入方程(1)得到分量形式

ut-6u2ux+uxxx+3ξ(uξx)x=0,

(2)

ξt+ξxxx-3u(uξ)x=0.

(3)

目前已有對(duì)該系統(tǒng)的玻色化、相似約化等結(jié)果[30]，這里主要把方程(2)和(3)中的分量場(chǎng)u和ξ用兩費(fèi)米參數(shù)展開得到玻色化SMKdV-2系統(tǒng)并由此探討該系統(tǒng)具有的相互作用波解.

1SMKdV系統(tǒng)的玻色化

其中系數(shù)u0≡u(píng)0(x,t),ui1i2…i2n≡u(píng)i1i2…i2n(x,t)(1≤i1≤i2…≤i2n≤N),vi1i2…i2n-1≡vi1i2…i2n-1(x,t)(1≤i1≤i2…≤i2n-1≤N)是2N個(gè)關(guān)于經(jīng)典時(shí)空變量x和t的玻色函數(shù)，定義在無窮維偶Grassmann代數(shù)Ge上.通過以上的展開式，超對(duì)稱修正KdV系統(tǒng)(2)和(3)即可轉(zhuǎn)化成2N個(gè)方程構(gòu)成的玻色系統(tǒng).

為簡(jiǎn)化計(jì)算，這里僅討論兩費(fèi)米參數(shù)的情形.假設(shè)方程(2)和(3)中的分量場(chǎng)u和ξ只按兩個(gè)費(fèi)米參數(shù)ζ1和ζ2展開為u(x,t)=u0+u1ζ1ζ2,ξ(x,t)=pζ1+qζ2，系數(shù)p,q,u0和u1是關(guān)于x和t的Grassmann偶函數(shù)，代入超對(duì)稱系統(tǒng)(2)和(3)得到BSMKdV-2系統(tǒng)

(4)

pt+pxxx-3u0(u0p)x=0,

(5)

qt+qxxx-3u0(u0q)x=0,

(6)

(7)

值得一提的是，方程(4)就是通常的修正KdV方程，而方程(5)和(7)分別是p,q和u1的線性齊次方程，所以較原系統(tǒng)要容易求解得多.下文將詳細(xì)討論BSMKdV-2系統(tǒng)的相互作用波解.

2相互作用波解

利用最新提出的tanh函數(shù)展開法[19,31-32]可以得到描述孤波與其它波如橢圓余弦波之間的相互作用波解.為此假設(shè)解的形式為u0=u00+u01tanh(w),p=p0+p1tanh(w),q=q0+q1tanh(w),u1=u10+u11tanh(w)+u12tanh2(w),其中w,u00,u01,p0,p1,q0,q1,u10,u11和u12是x和t的函數(shù).代入方程(4)～(7)后可以導(dǎo)出非自貝克隆變換：如果場(chǎng)w,f1,g1和h1是下述Schwarzian方程

(8)

(9)

(10)

(11)

的解，那么

(12)

(13)

(14)

(15)

是BSMKdV-2系統(tǒng)(4)～(7)的解，式中δ2=1.文獻(xiàn)[30]中給出了類似的結(jié)果.

要給出方程組(8)～(11)的一般解還是非常困難的，但是可以得到一些非平庸的特解.下面給出兩組特解.

2.1單孤子解

圖1　由式(16)～(19)分別給定的場(chǎng)u0,u1,p和q的波解在t=0時(shí)刻的波形Fig. 1　The wave profiles of the Grassmann evenfields u0,u1,p and q given by Eqs. (16)～(19)respectively at t=0

(16)

(17)

(18)

ξ3]sech(w)2-k0k3tanh(w).

(19)

顯然，由式(16)定出的場(chǎng)u0具有標(biāo)準(zhǔn)的扭結(jié)或反扭結(jié)結(jié)構(gòu)，而場(chǎng)u1可以具有多種不同的波形，包括扭結(jié)、反扭結(jié)或偶極子型等，但是場(chǎng)p和q的波形很難判定，因?yàn)槠浣庵衪anh函數(shù)具有非常數(shù)系數(shù).圖1描述了一種可能的波解在t=0時(shí)刻的圖像，其中參數(shù)取值為k0=ξ1=ξ3=δ=1,k1=1/20,k2=1/30,k3=1/25,ξ0=3,ξ2=2.

2.2相互作用波解

假設(shè)w解的形式為w=k1k0x-ω0t+Ψ(η),η=k1x-ω1t， 其中k0,k1,ω0和ω1是待定常數(shù)，其它的函數(shù)f1,g1和h1設(shè)為f1=f2(η,t),g1=g2(η,t),h1=h2(η,t)，代入非自貝克隆變換得到解

(20)

(21)

(22)

(23)

方程(20)的一般解可以通過兩次積分得到

(24)

其中γ3和η0是任意積分常數(shù).如果取參數(shù)γ1,γ2和γ3為

由于(21)和(23)是關(guān)于未知函數(shù)的線性方程，因此有線性疊加解

其中αn,βm對(duì)n=1,2,…,N,m=1,2,…,M是任意常數(shù).最終，BSMKdV-2系統(tǒng)的解為

(25)

(26)

(27)

(28)

圖2　由式(16)～(19)分別給定的場(chǎng)u0,u1,p和q的波解在t=0時(shí)刻的波形Fig. 2　The wave profiles of the Grassmann even fields u0,u1,p and q given by Eqs. (16)～(19) respectively at t=0

由上式給出的解描述了孤子與橢圓余弦波之間的相互作用，與其它方法如非局域?qū)ΨQ相關(guān)的對(duì)稱約化得到的結(jié)果[11]類似.給定N和M的數(shù)值后可以具體給出解的表示形式.下面給出的結(jié)果是假定f2,g2和h2是任意常數(shù)得到的.這時(shí)方程(21)～(23)恒成立，場(chǎng)u0,p和q具有相同的波形，而場(chǎng)u1具有不同形式的相互作用波.圖2清晰顯示了一組波形，其相應(yīng)參數(shù)分別取為k0=k1=δ=h2=1,m=9/10,ν=f2=1/2,g2=3/2.并在圖3中給出了扭結(jié)波和周期背景波之間的彈性相互作用，圖4中可見孤子在周期波中行進(jìn)時(shí)沒有發(fā)生任何形變.

圖3　圖2中相互作用波u0的演化過程和密度圖(顯示扭結(jié)波和背景周期波之間的相互作用過程)Fig. 3　The evolutional plot (left) and the density plot (right) of the field u0 with its expression similar to that in Fig. 2,showing an elastic interaction between the kink wave and the periodic background wave

圖4　圖2中相互作用波u1的演化過程和密度圖(顯示孤子和背景周期波之間的彈性相互作用)Fig. 4　The evolutional plot (left) and the density plot (right) of the field u1 with its expression similar to that in Fig. 2,showing an elastic interaction between the soliton wave and the periodic background wave

3小結(jié)

本文通過一般玻色化方法把N=1超對(duì)稱修正KdV系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)玻色化系統(tǒng)，其中的玻色場(chǎng)定義在無窮維偶Grassmann代數(shù)Ge上.在兩費(fèi)米參數(shù)假定下給出了BSMKdV-2系統(tǒng).用一般tanh函數(shù)展開法給出了相互作用波解，并給出了這些波的圖像描述，顯示在相互作用過程中孤子沒有發(fā)現(xiàn)形變.該方法和結(jié)論對(duì)N個(gè)費(fèi)米參數(shù)的情形也成立.

參考文獻(xiàn):

[1] MATHIEU P. Supersymmetric extension of the Korteweg-de Vries equation[J]. J Math Phys,1988,29(11):2499-2506.

[2] OEVEL W, POPOWICZ Z. The bi-Hamiltonian structure of fully supersymmetric Korteweg-de Vries systems[J]. Commun Math Phys,1991,139(3):441-460.

[3] FIGUEROA-O’FARRIL J， RAMOS E， MAS J. Integrability and bihamiltonian structure of the even order SKdV hierarchies[J]. Rev Math Phys,1991,3(4):479-501.

[4] CARSTEA A S, RAMANI A, GRAMMATICOS B. Constructing the soliton solutions for the N=1 supersymmetric KdV hierarchy[J]. Nonlinearity,2001,14(5):1419-1423.

[5] MCARTHUR I N, YUNG C M. Hirota bilinear form for the super-KdV hierarchy[J]. Mod Phys Lett A,1993,8(18):1739-1745.

[6] LIU Q P. Darboux transformations for supersymmetric Korteweg-de Vries equations[J]. Lett Math Phys,1995,35(2):115-122.

[8] SHIN H J. Soliton on a cnoidal wave background in the coupled nonlinear Schrodinger equation[J]. Phys A: Math Gen,2004,37(33):8017-8030.

[9] SHIN H J. Multisoliton complexes moving on a cnoidal wave background[J]. Phys Rev E,2005,71(3):036628.

[10] SHIN H J. The dark soliton on a cnoidal wave background[J]. J Phys A: Math Gen,2005,38(15):3307-3315.

[11] HU X R, LOU S Y, CHEN Y. Explicit solutions from eigenfunction symmetry of the Korteweg-de Vries equation[J]. Phys Rev E,2012,85(5):056607.

[12] LOU S Y, HU X R, CHEN Y. Nonlocal symmetries related to B?cklund transformation and their applications[J]. J Phys A: Math Theor,2012,45(15):155209.

[13] TANG X Y, Liang Z F, Wang J Y. Nonlocal topological solitons of the sine-Gordon equation[J]. J Phys A: Math Theor,2015,48(28):285204.

[14] WANG J Y, TANG X Y, LOU S Y, et al. Nanopteron solution of the Korteweg-de Vries equation[J]. EPL,2014,108(2):20005.

[15] BOYD J P. A numerical calculation of a weakly non-local solitary wave: theΦ4breather[J]. Nonlinearity,1990,3(1):177-195.

[16] EFETOV K B, PéPIN C, MEIER H. Exact bosonization for an interacting fermi gas in arbitrary dimensions[J]. Phys Rev Lett,2009,103(18):186403.

[17] LUTHER A. Tomonaga fermions and the Dirac equation in three dimensions[J]. Phys Rev B,1979,19(1):320-330.

[18] GAO X N, LOU S Y. Bosonization of supersymmetric KdV equation[J]. Phys Lett B,2012,707(1):209-215.

[19] GAO X N, LOU S Y, TANG X Y. Bosonization, singularity analysis, nonlocal symmetry reductions and exact solutions of supersymmetric KdV equation[J]. Journal of High Energy Physics,2013,2013(5):29.

[20] GAO X N, YANG X D, LOU S Y. Exact solutions of supersymmetric KdV-a system via bosonization approach[J]. Commun Theor Phys,2012,58(5):617-622.

[21] OGUZ O, YAZICI D. Multiple local Lagrangians for n-component super-Korteweg de Vries-type bi-Hamiltonian systems[J]. Int J Mod Phys A,2010,25(5):1069-1078.

[22] KUPERSHMIDT B A. A super Korteweg-de Vries equation: an integrable system[J]. Phys Lett A,1984,102(5/6):213-215.

[23] TIAN K, LIU Q P. A supersymmetric Sawada-Kotera equation[J]. Phys Lett A,2009,373(21):1807-1810.

[24] HARITON A J. Supersymmetric extension of the scalar Born-Infeld equation[J]. J Phys A: Math Gen,2006,39(22):7105-7114.

[25] LABELLE P, MATHIEU P. A new N=2 supersymmetric Korteweg-de Vries equation[J]. J Math Phys,1991,32(4):923-927.

[26] LABERGE C A, MATHIEU P. N= 2 superconformal algebra and integrable O(2) fermionic extensions of the Korteweg-de Vries equation[J]. Phys Lett B,1988,215(4):718-722.

[27] SAHA M, CHOWDHURY A R. Supersymmetric integrable systems in (2 + 1) dimensions and their Backlund transformation[J]. Int J Theor Phys,1999,38(7):2037-2047.

[28] REN B, LIN J, YU J. Supersymmetric Ito equation: Bosonization and exact solutions[J]. AIP Advances,2013,3(4):042129.

[29] YAMANAKA I, SASAKI R. Super virasoro algebra and solvable supersymmetric quantum field theories[J]. Prog Theor Phys,1988,79(5):1167-1184.

[30] REN B. Exact solutions for the N=2 supersymmetric KdV equation with the bosonization approach[J]. Chin J Phys,2015,53(1):020201.

[31] JIN Y, JIA M, LOU S Y. B?cklund transformations and interaction solutions of the Burgers equation[J]. Chin Phys Lett,2013,30(2):020203.

[32] LEI Y, LOU S Y. Interactions among periodic waves and solitary waves of the (2+1)-dimensional Konopelchenko-Dubrovsky equation[J]. Chin Phys Lett,2013,30(6):060202.

Interacting Waves of N=1 Supersymmetric Modified Korteweg-de Vries Equation

LIANG Zufeng1， WANG Jianyong2

(1. School of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China； 2. Department of Mathematics and Physics，Quzhou University， Quzhou 324000， China)

Abstract:By means of the general bosonization approach, the supersymmetric modified Korteweg-de Vries (SMKdV) system is transformed to a coupled bosonic system with its component fields defined on an infinite even Grassmann algebra. Then the consistent tanh expansion method is applied to generate the interacting wave solutions of the SMKdV system. Representative interactions between solitons and background periodic waves are graphically displayed.

Key words:supersymmetric modified KdV equation; bosonization; soliton-cnoidal wave solutions

收稿日期：2015-10-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11275123，11475052).

通信作者：梁祖峰(1971—)，男，副教授，博士，主要從事非線性系統(tǒng)研究.E-mail:liangzufeng@163.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.03.014

中圖分類號(hào):O411.1MSC2010: 35C08

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1674-232X(2016)03-0301-06