與AH凸函數有關的若干積分不等式

時統業，李照順，秦　華

(海軍指揮學院信息系，江蘇 南京 211800)

與AH凸函數有關的若干積分不等式

時統業，李照順，秦華

(海軍指揮學院信息系，江蘇 南京 211800)

摘要：利用AH凸函數與凸函數的關系，證明了AH凸函數單側導數的存在性和單調性，并通過不等式建立了AH凸函數與其單側導數的聯系.從AH凸函數的定義和基本性質出發，用普通數學分析的方法建立了若干AH凸函數的不等式.

關鍵詞：AH凸函數；積分不等式；單側導數

1預備知識

定義1[1]設f(x)區間I上有定義，f(x)在I上稱為是凸(凹)函數，當且僅當：對任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2).

注1當f(x)為區間I上的凹函數時，也有相應結論，引理2中的不等號反向.

引理3設f：[a，b]?R→(0，+∞)為AH凸(凹)函數，x，y∈(a，b)，則

(i)f在(a，b)內任意點處的單側導數存在；

(ii)若x

(1)

(2)

(iii)因g(x)是[a，b]上的凹函數，故由引理2證得式(2)成立.

引理4設f：[a，b]?R→(0，+∞)為AH凸函數，則f和lnf都是[a，b]上的凸函數.

證明對任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，由AH凸函數有

(3)

又因為

(4)

由式(3)、(4)得

f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，

lnf(tx1+(1-t)x2)≤tlnf(x1)+(1-t)lnf(x2)，

故證得f和lnf都是[a，b]上的凸函數.

引理5[5]設f是[a，b]上的連續凸函數，g在[a，b]上有連續的導函數且至多只有有限個零點，則有

文獻[6]給出AH凸函數的幾個積分不等式.

本文建立一些新的AH凸函數的積分不等式，所采用的思想方法可見文獻[7-8].

2主要結果

定理2設f：[a，b]?R→(0，+∞)為AH凸(凹)函數，則有

(6)

證明由AH凸函數的定義有

(7)

當bf(b)≠af(a)時，

當bf(b)=af(a)時，

定理3設f：[a，b]?R→(0，+∞)為連續的AH凸函數，則有

(8)

(ii)若f又嚴格單調，則有

(9)

證明由引理4知lnf是[a，b]上連續的凸函數，又由引理5得

(10)

(11)

(i)由引理3(iii)，對任意x，y∈(a，b)，有

(12)

式(12)對x，y在[a，b]×[a，b]上積分得

即

(13)

由式(10)、(11)和式(13)證得式(8).

(ii) 式(12)對y在[a，b]上積分得

(14)

(15)

證明由引理3(iii)，對任意x∈[a，b]，有

(16)

(17)

式(16)、(17)分別在[a，y]和[y，b]上對x積分，然后相加可得式(15).

受到文獻[9]中定理1的證明方法的影響，得到推論2.

(18)

定理5設f：[a，b]?R→(0，+∞)是連續的AH凸函數，對任意x∈(a,b)，有

(19)

證明由引理3(iii)，對任意y∈(a，b)，有

(20)

式(20)在[a，b]上對y積分得

(21)

因為f是[a，b]上連續的AH凸函數，由引理4知f是[a，b]上連續的凸函數，又由引理5得

(22)

將式(22)帶入式(21)并整理可得式(19)的左邊不等式.

又由AH凸函數定義得

(23)

由此可得式(19)的右邊不等式.

定理6設f：[a，b]?R→(0，+∞)是連續的AH凸(凹)函數，p(x)是正的可積函數，則

(24)

證明由引理3(iii)，對任意y∈(a，b)，x∈[a，b]，有

(25)

(26)

將式(25)、(26)乘以p(x)，然后分別在[a，y]和[y，b]上對x積分，相加得

(27)

參考文獻:

[1] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2006：268.

[2] 張天宇，王淑紅.關于算數調和凸函數的Hermite-Hadamard型不等式[J].內蒙古民族大學學報(自然科學版)，2012，27(4)：397-399.

[3] 陳少元.AH-凸函數及其應用[J].湖北職業技術學院學報，2013，16(2)：106-109.

[4] 劉三陽，李廣民.數學分析十講[M].北京：科學出版社，2011：89.

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[6] 何曉紅，許謙.AH凸函數的幾個積分不等式[J].上海大學學報(自然科學版)，2014，20(3)：368-373.

[7] 張小明，褚玉明.解析不等式新論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2009.

[8] DRAGOMIR S S， PEARCE C E M. Selected topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[D].Victoria：Victoria University，2000.

[9] 何曉紅.指數凸函數的積分不等式及其在Gamma函數中的應用[J].純粹數學與應用數學，2014，30(1)：69-76.

Integral Inequalities Related to AH-convex Functions

SHI Tongye， LI Zhaoshun， QIN Hua

(Department of Information， PLA Naval Command College， Nanjing 211800， China)

Abstract:With the relationship between convex functions and AH-convex functions，the existence and the monotonicity of the unilateral derivatives of AH-convex functions are proved，and the relation between AH-convex function and its derivative is established through inequalities. From the definition and the basic properties of AH-convex functions，integral inequalities for AH-convex functions are obtained by ordinary mathematical analysis.

Key words:AH-convex function; integral inequality; unilateral derivative

收稿日期：2015-08-03

通信作者：時統業(1963—)，男，副教授，主要從事基礎數學教學和研究.E-mail:shtycity@sina.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.03.015

中圖分類號:O178MSC2010： 26A51；26D15

文獻標志碼:A

文章編號:1674-232X(2016)03-0307-05