關于加權的尾部均值方差準則下最優資本分配

駱明旭，王文勝，王施施

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

關于加權的尾部均值方差準則下最優資本分配

駱明旭，王文勝，王施施

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

摘要：文章針對總風險超過一定閾值的資本配置問題，在傳統資本分配準則的基礎上，研究了一種加權的尾部均值方差原則.

關鍵詞：資本分配；均值方差；尾部風險

0引言

最優資本配置是金融經濟學中的核心問題之一.這個問題起源于美國金融學家、經濟學家、諾貝爾獎獲得者Markowitz[1]的研究.自Markowitz的開創性工作以來,投資組合理論已成為現代金融經濟學的基石之一，廣泛應用于資本配置等投資組合管理.最優資本配置就是研究在不確定情況下，投資者如何將資本分配于各種業務部門，使得收益率最大和風險最小，從而得到整體風險與收益之間最優均衡關系.

這一問題引起了國內外學者們的廣泛興趣.在最近的研究中，Laeven等[2]在研究動態資本分配的問題上，將其歸結為如下優化問題：假設一個公司和n個部門所面臨的風險分別為X1,X2,…,Xn，要將總資本p分配到這n個部門以應對相應的風險，總資本p被要求外生給定.在一定風險準則下，使得分配到第i個部門的資本數額pi充分地“接近”其相應的風險Xi，用數學模型表述：

(1)

其中，ρ[·]是分配規則，π[·]是風險度量.

根據將資本配置問題歸結為最優化問題的思路，Dhaene等[3]提出了一個更一般的準則，即使得各個部門損失與各自分得的資金的偏離程度的加權和.記p∈A={p∈Rn:p1+…+pn=p},

(2)

(3)

在Dhaene的特殊模型以及Xu等[4]提出的損失函數基礎上，Ostaszewski等[5]提出了均值方差準則，這一準則克服了只考慮損失函數期望的缺陷，將損失函數的方差帶入了模型當中：

(4)

進一步，Furman等[6]使用尾部方差風險(TVP)來估算保險費用.記TCEq(X)=:E(X|X>VaRq(X)),TVq(X)=:Var(X|X>VaRq(X)),TVPq=:TCEq(X)+βTVq(X),其中VaRq(X)=inf{x:F(x)≥q},F(x)=P(X≤x)和β≥0.

在此基礎上，Xu等[7]給出了尾部均值方差準則，即求解下列問題：

(5)

本文將在Dhaene等的加權方法和均值方差準則的基礎上，結合Xu等給出的尾部均值方差準則，討論在加權的尾部均值方差模型下資產分配的最優化問題.在考慮尾部風險的基礎上，這一模型不僅能夠更加靈活使用加權變量，還大大減小在厚尾情形下對企業不利的情況.

1模型和結論

基于上述討論，本文考慮加權的尾部均值方差模型下的資本配置方法，該方法不僅考慮損失函數的變異性和加權，還將尾部風險納入其中.筆者考慮的模型就是求解下列問題：

(6)

本文得到如下結果.

(7)

2定理的證明

定理的證明需要用到下面引理.

▽pL(p*,λ*)=0,▽λL(p*,λ*)=0,

那么函數f受限于h(p*)=0有嚴格局部最小解p*，其中▽是微分算子，x的轉移矩陣是xt.

定理1的證明記

則用引理1有

(8)

(9)

下面先把加權后的損失函數的方差做一些轉變，分離出與p1有關的項，與p1無關的項分別用C1,C2表示：

然后按照引理1的步驟對p1求偏導數，得到如下等式:

同樣，對于i=2,3,…,n，也有上述表達，因此得到

(10)

(11)

綜合式(10)和(11)，即得定理1.

參考文獻:

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[2]LAEVENRA,GOOVAERTSMJ.Anoptimizationapproachtothedynamicallocationofeconomiccapital[J].Insurance:MathematicsandEconomics，2004，35(2):299-319.

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[6]FURMANE,LANDSMANZ.Tailvariancepremiumwithapplicationsforellipticalportfolioofrisks[J].AstinBulletin,2006,36(2):433-462.

[7]XUMC,MAOTT.OptimalcapitalallocationbasedontheTailMean-Variancemodel[J].Insurance:MathematicsandEconomics,2013,53(3):533-543.

[8]BERTSEKASDP.NonlinearProgramming[M]. 2nded.Belmont:AthenaScientific,1999:224-225.

Optimal Capital Allocation Based on the Weighted Tail-mean-variance Principle

LUO Mingxu， WANG Wensheng， WANG Shishi

(School of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China)

Abstract:Aiming at the capital allocation problems with the aggregate risk exceeding a certain threshold, this paper proposes a novel weighted tail-mean-variance principle basing on traditional allocation principles.

Key words:capital allocation；mean-variance；tail risk

收稿日期：2015-09-30

通信作者：王文勝(1970—)，男，教授，主要從事隨機過程和金融數學研究.E-mail:wswang2008@163.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.03.016

中圖分類號:O211.9；O224MSC2010: 90C27

文獻標志碼:A

文章編號:1674-232X(2016)03-0312-04