基于最大Lyapunov指數的無刷雙饋電機混沌現象分析*

陳集思，　楊俊華，　林卓勝，　吳　捷

(1. 廣東工業大學 自動化學院，廣東 廣州　510006；2. 華南理工大學 電力學院，廣東 廣州　510641)

基于最大Lyapunov指數的無刷雙饋電機混沌現象分析*

陳集思1，楊俊華1，林卓勝1，吳捷2

(1. 廣東工業大學 自動化學院，廣東 廣州510006；2. 華南理工大學 電力學院，廣東 廣州510641)

摘要：從混沌機理研究角度，采用數值仿真方法計算最大Lyapunov指數，分析并驗證了無刷雙饋電機中存在的混沌現象?；跓o刷雙饋電機d-q軸數學模型，導出非線性微分方程；以轉子運動時間常數的倒數為電機系統的控制參量，根據實際電機參數構建無刷雙饋電機的混沌模型；通過計算混沌模型的最大Lyapunov指數，分析電機出現混沌現象時所對應的參數范圍。采用MATLAB建模仿真，論證了無刷雙饋電機進入混沌運動狀態時的參數條件。

關鍵詞：無刷雙饋電機； 混沌運動； 數值仿真； 最大Lyapunov指數； 混沌吸引子

0引言

無刷雙饋電機(Brushless Doubly-Fed Machine， BDFM)是一種異步化的交流勵磁同步電機，定子上有功率和控制兩套繞組，結構上，與繞線式異步電機的定、轉子繞組有相似之處[1]。由于其高可靠性和低維護成本，在惡劣的風電場環境下呈現出明顯優勢。近些年來，關于BDFM的本體研究和控制策略研究方興未艾，標量控制[2]、矢量控制[3]、直接轉矩控制[4]等控制策略獲得了較多關注。雖然電機控制策略不斷優化改進，但電機在實際運行中仍然存在著不規則運動，如不規則電磁噪聲、不規則轉矩、轉速間歇振蕩等問題[5]。隨著對電機系統認知的不斷提高，發現電機運行中出現的種種不規則運動非常類似于非線性系統的混沌現象。

繼相對論和量子力學之后，混沌學被稱為20世紀科學界中又一偉大理論成果，不同于平衡點、周期解、次諧波解和準周期解等行為，混沌是一種隨機但有界的穩態行為[6]。Li-Yorke于1975年在“周期三意味著混沌”一文中最早提出混沌概念[7]，文章以數學的嚴格性分析了任何一維系統中，只要出現規則的周期三，則同一系統中必然會給出其他任意長的規則周期，以及完全混沌的循環。當然，不同文獻中，混沌的主要特征表述不盡相同，但一般而言，混沌的主要特征包括：確定系統的內隨機性、對初始條件的敏感性、具有正的李雅普諾夫(Lyapunov)指數等[8]。過去幾十年，在電機等各個學科領域中開展了廣泛的混沌研究，面對由電機本體、功率變換器和控制器等多個復雜系統構成的電機控制系統，混沌分析首先應從電機本體開始，而永磁同步電機混沌運動現象是當前國內外研究的主要熱點。文獻[9]首次將Lyapunov指數作為永磁同步電機混沌現象分析的理論依據，通過計算Lyapunov指數和容量維，驗證了電機中混沌現象的存在。文獻[10]導出了適于分岔和混沌分析的永磁同步電機數學模型，研究了電機系統穩態、極限環和混沌三種運動狀態，通過仿真驗證了永磁同步電機中存在混沌吸引子。文獻[11]針對永磁同步電機在特定參數和工作條件下的混沌運動狀態，構造非線性狀態反饋逆系統，結合原系統實現了對參考給定輸入的快速跟蹤控制。其他如同步磁阻電機、無刷直流電機和雙饋電機等也存在混沌現象，但相關研究不多。文獻[12]給出了同步磁阻電機的混沌系統模型，為抑制電機在某些參數范圍中出現的混沌運動狀態，提出自適應控制策略。文獻[13]提出了無刷直流電機開環系統中的混沌現象。文獻[14]驗證了雙饋電機系統中也有混沌現象，并通過設計滑模控制器實現混沌系統同步。

目前，對BDFM系統混沌現象研究仍為空白，在某些特定參數條件下，BDFM會否和其他類型電機一樣出現混沌現象？本文通過BDFMd-q軸數學模型導出電機系統的非線性微分方程，構建BDFM的七階非自治系統，從混沌研究角度探討BFDM中不規則運動發生機理，得到相關結論。

1BDFM的非線性微分模型

BDFM在轉子速d-q軸同步坐標系中各繞組的電壓方程為[15]

(1)

(2)

(3)

式中：udp、uqp、udc、uqc、udr、uqr——功率繞組、控制繞組和轉子繞組的d、q軸電壓分量；

idp、iqp、idc、iqc、idr、iqr——d、q軸電流；

ψdp、ψqp、ψdc、ψqc、ψdr、ψqr——d、q軸磁鏈；rp、rc、rr為等效電阻；

pp、pc——功率繞組和控制繞組的極對數；

ωr——轉子轉速。

在兩相轉子速d-q軸模型中，功率繞組、控制繞組和轉子繞組的磁鏈方程為

(4)

(5)

(6)

式中：Lsp、Lsc——d-q坐標下定子各繞組自感；

Mrp、Mrc——定子繞組與轉子繞組間互感。

BDFM在d-q坐標下的電磁轉矩方程為

Te=Tep+Tec=ppMrp(iqpidr-idpiqr)+

pcMrc(iqcidr+idciqr)

(7)

式中：Te——總電磁轉矩；

Tep、Tec——功率繞組、控制繞組產生的電磁轉矩。

BDFM的機械運動方程可表示為

(8)

式中：J、D——轉子機械慣量和轉動阻尼系數；

TL——負載轉矩。

將式(4)～式(6)代入(1)～式(3)可得

(9)

(10)

(11)

設Tr為轉子運動時間常數，σ1、σ2、σ3為擴散系數。

(12)

(13)

令電機系統中的各狀態變量[idp，iqp，idc，iqc，ψdr，ψqr，ωr]T=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]T，[udp，uqp，udc，uqc，udr，uqr，TL]T=[0，0，0，0，0，0，0]T。將式(6)、式(7)、式(9)～式(13)整理化簡可得BDFM電機系統的一階微分方程組

(14)

由式(14)可看出，BDFM電機系統具有多變量、非線性和強耦合的特點。方程組中各項變量的系數用矩陣形式可表示為

在式(14)中引入轉子轉速PD控制項：

令上式中ωref=0，可得

(15)

混沌運動是確定性非線性動力系統所特有的復雜運動狀態，但只有當系統參數處于某一范圍時才會出現。定義轉子運動時間常數Tr的倒數為電機系統中的控制參量k，假設Tr在某一范圍內的變化會引起BDFM系統出現混沌現象。

Tr*=kTr

(16)

將式(15)、(16)代入式(14)中轉子繞組的一階微分方程組，可構建BDFM的七階非自治系統：

(17)

2BDFM的混沌機理分析與仿真

BDFM定子上的功率和控制兩套繞組磁場相互正交，需通過特殊結構的轉子進行轉換方能獲得耦合。目前的無刷雙饋電機轉子結構大體分為籠型、磁阻型和變極繞線型三類，功率繞組和控制繞組所產生的旋轉磁場方向是相反的，而轉子只有一個和功率繞組旋轉磁場方向一致的旋轉方向。對轉子而言，控制繞組的旋轉磁場實質上相當于一個負序旋轉磁場，轉子中同樣會產生一個相應的負序性質的電磁轉矩，而且這一轉矩在整個電機運轉的過程中都存在，在電機運行狀態變化時會有不確定轉矩產生。

因為材料、制造裝配原因，電機定轉子間氣隙不可能完全均勻，導致電機中會產生單邊磁拉力。定轉子電機齒槽的存在，若槽配合不理想也會產生齒諧波振蕩轉矩、不良電磁噪聲和振動；如果振蕩頻率和電機固有頻率發生重合，還會有諧振危險。

混沌機理研究，主要是通過嚴格的數學手段證明混沌的存在性，或采用數值手段及定性分析方法分析混沌特性[8]，但求解絕大多數非線性系統的非線性方程需有一定的數學技巧及豐富的先驗知識，所以通過數學手段，一般很難獲得非線性系統的解析解。目前，也只有Lorenz和Chua兩個連續的混沌系統得到嚴格數學手段證明[16-17]，數值仿真成為研究混沌機理中廣泛應用且有效可行的分析方法，包括計算Lyapunov指數、分岔圖、平衡點分析和Poincare截面等。

混沌運動敏感于初始值，Lyapunov指數是對該現象的一個定量判斷指標。它表征了系統在相空間中相鄰軌線間發散(分離)的平均指數率，可定義為：

(18)

在三維以上的連續非線性系統中，其Lyapunov指數總存在一個負指數和零指數，系統是否存在正的Lyapunov指數是判斷系統是否會出現混沌現象的特征之一。因此，在高維系統混沌特性的分析過程中，為降低計算的復雜性，無需逐一求出其全部Lyapunov指數，僅需求出系統的所有指數中的最大值即可。其計算原理如圖1所示。圖1中，x0、y0為相軌跡的初始值，d0為相軌跡間的初始距離。

圖1　最大Lyapunov指數計算原理圖

若最大Lyapunov指數小于0，即系統不存在正的Lyapunov指數，表明系統運動軌道局部穩定，對應周期運動；反之，若最大值大于零，則表明運動軌道局部不穩定，相鄰軌道指數分離，此時軌道在整體性能的穩定因素(有界、耗散等)作用下拉伸并反復折疊，形成混沌吸引子，系統進入混沌運動狀態。因此，最大Lyapunov指數為正可作為BDFM系統出現混沌行為的判據。李氏指數由負變正表明電機運動向混沌狀態的轉變。

根據圖1，最大Lyapunov指數可定義為：

(19)

式中：m——積分次數；

τ——積分時間。

根據BDFM實際參數，取pp=3，pc=1，rp=1.732Ω，rc=1.079Ω，rr=0.473Ω，Lp=714.8mH，Lc=121.7mH，Lr=132.6mH，Mrp=242.1mH，Mrc=59.8mH，J=0.01kg·m2，D=0.1；并令kp=4，kd=40，TL=0，系統初值為[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]=[0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5]。將各參數代入式(17)，以式(19)為計算原理，在MATLAB平臺上編寫最大Lyapunov指數的求解程序，可得BDFM系統的最大Lyapunov指數譜，如圖2所示。

圖2　BDFM系統最大Lyapunov指數譜

由圖2可知，參數k在[1.6,1.7]、[2.0,2.1]的變化范圍中李氏指數由負變正，表明BDFM系統進入混沌運動狀態。為了進一步分析和驗證BDFM系統的混沌狀態，取控制參量k=2.5，最大Lyapunov指數λmax=0.7518，采用四階五階的龍格-庫塔算法，在MATLAB平臺上求解其微分方程組(17)，分別得到BDFM功率繞組、控制繞組電流idp、iqp、idc、iqc和轉子磁鏈ψdr、ψqr的混沌仿真波形，如圖2所示。從圖2中可以發現，各狀態變量的波形顯示出隨機但有界的振蕩，同時這些波形是非周期性的，具有明顯的混沌特性。

圖3　BDFM系統混沌動態響應仿真波形圖

在狀態空間中定性研究電機系統時，不僅可以刻劃定、轉子電流和磁鏈等每一狀態量的具體軌道，而且需要刻劃一切可能軌道的集合，弄清軌道的類型和分布，以整體把握電機動態系統的運動規律和特性。為此，在idp-iqp、idp-ψqr、idp-ω、ψqr-ω二維平面空間和iqp-ψqr-ω三維空間中觀察各狀態量的軌道集合，如圖4所示。

圖4　BDFM系統混沌吸引子相圖

由圖4可以看出，相鄰軌道不斷分離、靠近，經不斷拉伸和折疊后形成混沌吸引子。拉伸特性導致了軌道運動的長期不可預測性，而折疊特性使得軌道運動有界，因此，相圖中隨機且有界的軌道集合表明在該參數條件下，BDFM系統進入了混沌運動狀態。

4結語

本文根據BDFM轉子速d-q軸數學模型推導出其非線性微分方程，加入轉子轉速控制項，以轉子運動時間常數Tr的倒數為電機系統中的可變控制參量，構建BDFM的七階非自治系統，通過數值仿真獲得了電機系統的最大Lyapunov指數譜，確定了電機中發生混沌運動行為的參數范圍，在二維平面和三維空間描述了電機系統的混沌吸引子相軌跡。仿真結果給出了實際驗證。需加入控制器削弱或消除BDFM系統振蕩，以達到期望的動態性能。

【參 考 文 獻】

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Analysis of Chaos in Brushless Doubly-Fed Machine Base on the Maximal Lyapunov Exponent*

CHENJisi1,YANGJunhua1,LINZhuosheng1,WUJie2

(1. Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China;2. South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)

Abstract：The chaos phenomenon in the brushless doubly-fed machine(BDFM) was firstly analyzed and verified by calculating the maximal Lyapunov exponent with the numerical simulation method from the point of view of chaos mechanism. The nonlinear differential equations of BDFM were derived based on its d-q axis model. The chaos model of BDFM was constructed according to the actual machine parameters with regarding the reciprocal of rotor time constant as control parameter. The range of parameters was analyzed when the chaotic phenomenon emerged in BDFM by computing the maximal Lyapunov exponent of the chaos model. In Matlab environment, the parametric condition can be demonstrated as BDFM turn into chaotic motion state.

Key words：brushless doubly-fed machine; chaos; the numerical simulation method; the maximal Lyapunov exponent; chaotic attractor

*基金項目：國家自然科學基金資助項目(51307025,5177050,51407035);廣東省高等學?？萍紕撔马椖?2013KJCX0059);廣東高校優秀青年創新人才培養計劃項目(2012LYM_0052;2013LYM_0019)

作者簡介：陳集思(1991—)，男，碩士研究生，研究方向為電機電器及其控制。 楊俊華(1965—)，男，教授，博士，研究方向為電機電器及其控制、風力發電機組的設計與控制。

中圖分類號：TM 301.3; TP 13

文獻標志碼：A

文章編號：1673-6540(2016)05- 0052- 07

收稿日期：2015-07-14