帶乘性噪聲的隨機控制系統魯棒H2/H∞控制設計

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

帶乘性噪聲的隨機控制系統魯棒H2/H∞控制設計

蔣登輝，李艷

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

摘要：本文主要研究了狀態方程和輸出方程均帶有多個噪聲源的無限時域離散隨機控制系統的H2/H∞控制器的設計問題。首先給出一個隨機有界實引理(SBRL)；然后，利用隨機有界實引理和系統的精確可觀測性，給出了隨機控制系統最優解的存在定理。該定理表明隨機H2/H∞控制設計與四個耦合的廣義代數Riccati方程的解的存在性有關。最后，給出了一個仿真實例來說明設計的效用。

關鍵詞：隨機控制系統；隨機有界實引理；精確可觀測性；H2/H∞控制；廣義代數Riccati方程

所謂的H2/H∞控制是指尋找一個控制器不僅滿足H∞性能指標的要求，而且當最壞擾動存在時，使得H2成本函數最小。混合H2/H∞控制作為一種重要的魯棒控制方法得到了廣泛的研究，并在工程實際中得到了應用。文獻[1-4]是針對于確定性系統而言的，文獻[5]研究了離散時間馬爾科夫跳變系統的混合H2/H∞控制，文獻[6]考慮了利用Riccati方程的方法解決帶有隨機加性噪聲的線性系統的問題，文獻[7]則研究了不確定多時滯廣義系統的魯棒控制問題。文獻[8]和[9]分別研究了H2/H∞控制在CDMA系統的隨機功率控制和硬盤驅動器的抗干擾設計。

近年來，隨著H2/H∞控制器的設計及其應用的逐漸普遍，帶有乘性噪聲的連續和離散時間系統的隨機H∞控制和混合H2/H∞控制問題已經成為一個熱門的研究課題。文獻[10]給出了基于線性矩陣不等式的隨機有界實引理，這一引理在隨機H∞濾波器設計中起著非常重要的作用。文獻[11]很好地解決了帶乘性噪聲的馬爾可夫跳系統的精確可觀測性和精確可檢測性的問題，并提出了相應的PBH判據，對系統的魯棒H2/H∞控制進行了詳細的設計；文獻[12]對狀態依賴噪聲的系統進行了討論，獲得了關于隨機H2/H∞控制設計的成果。張維海等[13]針對一類狀態和擾動依賴噪聲的系統進行了H2/H∞控制器設計。盡管關于H2/H∞控制器設計理論已經十分成熟，但是考慮到工程實踐中輸出過程也受到噪聲的影響的實際，例如在動力調諧陀螺中，過大的輸出噪聲會引起視軸的抖動較大，從而影響它的跟蹤精度和穩定精度。因此本文研究狀態方程和輸出方程均帶有多個噪聲源的離散隨機控制系統的H2/H∞控制器設計問題。

本文的主要內容安排如下：第一節介紹離散隨機控制系統模型，并給出相關定義和重要引理；第二節提出設計目標和要求，并獲得H2/H∞控制設計。第三節采用逆向迭代算法來求解四個廣義代數Riccati方程，并對系統進行了數值仿真。第四節總結全文。

1帶乘性噪聲的隨機控制系統模型和基本概念

本文考慮以下狀態、控制輸入和輸出均帶乘性噪聲的隨機控制系統：

(1)

定義2[14]如果存在反饋矩陣F∈Rm×n使得閉環隨機控制系統(1)是穩定的，那么隨機控制系統(1)是可鎮定的。

(2)

有唯一的解L≥0。

(3)

(4)

有唯一解L>0，而且

并且最優控制為

引理2由文獻[16]中的引理3變換而來，兩者證明過程基本相同，在此不再贅述。

接下來引進一個隨機有界實引理。首先考慮下面的隨機控制系統：

(5)

其中，v∈Rnυ是指外部干擾，Z∈Rnz是控制輸出。

對文獻[6]中的引理4做一個簡單推廣，可以得到以下引理：

引理3如果系統(5)是內部穩定的，并且對于任意給定的γ>0，滿足‖?！?γ，則下列廣義代數Riccati方程

2無限時域離散隨機控制系統的魯棒H2/H∞控制設計

本節我們利用代數Riccati方程得出隨機H2/H∞控制問題的解。考慮如下離散隨機控制系統：

(7)

(8)

(9)

系統(7)的無限時域隨機H2/H∞控制器設計要求如下：

(10)

定理1對于系統(7)，假設以下四個廣義代數Riccati方程

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

首先，給出引理4，將用于定理1的證明。

有以下結論：

定理1的證明分為以下三個步驟：

(17)

(18)

其中D1和D2的定義同引理4。

步驟3：當系統(7)中存在最壞的干擾v*時，u*同樣會減少系統的輸出能量。

其中，

3數值仿真

本文采用逆向迭代算法來求解四個耦合方程(7)～(10)。給出下面的一個二維數值仿真，假設迭代次數是100次，在隨機控制系統(1)中，假設m=2，γ=0.997，

通過運用逆向迭代算法,獲得耦合方程(7)～(10)的最優解如下：

通過解可知，L1<0，L2>0。迭代過程如圖1和圖2所示,圖中橫坐標是迭代次數N，縱坐標是最優解L1(0)、L2(0)、F1和F2矩陣中每個元素的值，L1(0)、L2(0)為對稱矩陣。圖形清晰地表明了逆向迭代算法的收斂性和快速性。

圖1　L1和L2的迭代過程

圖2　F1和F2的迭代過程

4結論

本文研究了帶乘性噪聲的離散隨機控制系統的控制器設計問題，通過精確可觀測性和一個有界實引理，得出了最優的魯棒H2/H∞控制設計，該設計與四個耦合的廣義代數Riccati方程有關。使用逆向迭代算法對四個方程進行了求解，并通過數值仿真驗證了算法的有效性和設計的正確性。

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(責任編輯：傅游)

Robust H2/H∞Control of Stochastic Control Systems with Multiplicative Noise

JIANG Denghui, LI Yan

(College of Electrical Engineering and Automation, Shandong University of Science and Technology,Qingdao, Shandong 266590, China)

Abstract:The paper mainly investigated the mixed H2/H∞control design of infinite horizon discrete-time stochastic control systems with multiplicative noise in both state and output equation. Firstly, a stochastic bounded real lemma (SBRL) was built. Secondly, on the basis of SBRL and exact observability, an optimal solution existence theorem of the stochastic H2/H∞control system was obtained, which indicates that the stochastic control design is related to the solution of the four coupled general algebraic Riccati equations (GAREs). Finally, a numerical example was proposed to illustrate the effectiveness of the design.

Key words:stochastic control system; stochastic bounded real lemma; exact observability;H2/H∞control; general algebraic Riccati equation

收稿日期：2015-12-31

基金項目：國家自然科學基金項目(61402265)；山東科技大學群星計劃項目(qx2013111)

作者簡介：蔣登輝(1990—),女,山東泰安人,碩士研究生,主要從事隨機魯棒控制研究. E-mail：liyanghd@163.com

中圖分類號：O231

文獻標志碼：A

文章編號：1672-3767(2016)03-0092-07

李艷(1975—),女,山東泰安人,講師,博士，主要從事隨機魯棒控制研究,本文通信作者.