基于克里金插值法的NRTK誤差改正

石　鑫，呂志偉，楊　川，張　宇

(1.信息工程大學 導航與空天目標工程學院，鄭州　450001；2.核工業西南勘察設計研究院有限公司，成都　610061)

基于克里金插值法的NRTK誤差改正

石鑫1，呂志偉1，楊川2，張宇1

(1.信息工程大學 導航與空天目標工程學院，鄭州450001；2.核工業西南勘察設計研究院有限公司，成都610061)

摘要：針對NRTK中流動站誤差修正時，傳統內插模型改正精度不高的問題，提出用克里金插值法對流動站誤差進行建模估計，并闡述方法的數學過程。結果表明，克里金插值法能夠有效改正用戶電離層、對流層延遲，改正精度較常規內插方法有所提高:當用戶位于基站網絡內部時，克里金插值法的電離層和對流層改正精度與常規內插算法相當；用戶位于網外時，常規內插方法難以有效改正用戶大氣延遲，而克里金插值法在網外一定范圍內仍能有效改正電離層、對流層延遲。

關鍵詞：克里金；NRTK；電離層延遲；對流層延遲；誤差改正

0引言

在全球范圍內，面向cm級高精度實時動態定位服務的多功能連續運行參考站系統相繼建立，并成為重要的地理空間數據基礎設施[1-2]，其數據處理核心包括3個方面：參考站網絡模糊度解算技術、流動站誤差建模、改正數發布，這些技術讓網絡實時動態差分法(network real-time kinematic，NRTK)實現了中長距離的高精度實時動態定位。其中流動站誤差建模是為了對用戶位置處的空間相關誤差進行改正，數據處理中心依據各參考站的空間相關誤差建模估計流動站用戶的空間相關誤差并將其播發給流動站用戶，主要是電離層、對流層延遲信息;流動站接收機依據數據處理中心播發的信息改正自己的大氣延遲，改正結果直接影響用戶的定位精度，當改正精度較低時，可能導致用戶在一段時間內無法獲得固定解。參考站網絡模糊度解算完畢后，就可以利用基站的大氣延遲信息對流動站大氣延遲進行誤差建模，常規的模型有線性組合法(linear combination model，LCM)、線性內插法(linear interpolation method，LIM)、基于距離線性內插法(distance based linear interpolation method，DIM)、低次曲面模型法(low-order surface model，LSM)、最小二乘配置法(least-squares collocation，LSC)等[3-4]，這些方法均能一定程度上改正用戶的大氣延遲。分類建模和模型精化是NRTK誤差建模領域的最新趨勢[5]，文獻[6]對現有的內插方法進行了分析，結果表明：現有各種內插算法在電離層改正精度上大體相同，但在對流層等誤差的改正方面，各種模型均有所不足。文獻[7]系統性地研究分析了評價各種插值算法精度的方法，使針對內插算法的精度評定更合理、更符合實際情況。近幾年，國內外一些學者將克里金(Kriging)插值法引入全球衛星導航系統(global navigation satellite system，GNSS)數據處理中來。文獻[8]中的研究表明：Kriging插值法能夠顧及對流層和電離層在空間和時間上的變化；能較準確地對區域電離層、對流層建模。文獻[9]將Kriging插值用于實時動態定位中:在使用廣播星歷的情況下獲得了cm級的定位精度；說明了Kriging插值法用于區域大氣誤差建模的可行性。文獻[10]用Kriging插值法構建了中緯度區域的電離層總電子含量(total electron content，TEC)地圖，并證明了Kriging插值法能夠很好地表現TEC的分布情況。

本文基于大型連續運行參考站(continuously operating reference stations，CORS)網的全球定位系統(global positioning system，GPS)觀測數據，利用Kriging插值法實時估計流動站用戶的大氣延遲改正；并將所得結果與常規內插方法結果對比，以評估Kriging插值法在多參考站NRTK中的適用性及其優劣性。

1參考站網絡大氣延遲信息的提取

大氣誤差的分類建模已成為NRTK中誤差改正的主要模式。分類建模一方面顧及了不同誤差源之間不同的空間相關特性，使誤差改正更具針對性，提高了改正效果；另一方面避免了誤差源之間的相互影響從而拉低整體的改正精度。在提取參考站網絡大氣延遲信息時，可先根據解算出的雙差網絡模糊度求得網絡基線上的雙差電離層延遲，然后根據雙差相位觀測方程求得各網絡基線的雙差對流層延遲。

現階段參考站通常選用多頻接收機和多路徑抑制天線，有效降低了接收機噪聲對載波相位的影響，使其保持在5 mm內；同時高階電離層延遲誤差影響遠小于一階影響的0.1%，對200 km以下的基線而言，其差分項影響不大于5 mm[5]。參考站網絡模糊度解算完畢后，利用雙頻相位觀測值，忽略觀測噪聲和高階電離層延遲的影響，可計算參考站網絡基線上L1載波的一階雙差電離層延遲[5，11]為

Δφ1-λ2Δφ2)+

(λ1ΔN1-λ2ΔN2)]。

(1)

式中：f1、 f2為L1、L2頻率；λ1、 λ2為L1、L2波長；Δφ1、Δφ2為雙差載波相位觀測值；ΔN1、ΔN2為雙差整周模糊度。

雙差電離層延遲提取完畢后，可根據雙差相位觀測方程求得基線上雙差對流層延遲信息為

ΔT=λ1(Δφ1+ΔN1)-Δρ+ΔI-ΔO。

(2)

若采用精密星歷進行數據處理，則衛星軌道誤差可忽略不計，將式(1)代入式(2)中，可求得參考站網絡基線的雙差對流層延遲計算公式為

(3)

需要指出的是：為使求得的參考站網大氣延遲信息真實可靠，選用參考站網絡模糊度固定的時段進行解算，排除因模糊度未固定對下一步用戶大氣延遲建模的影響；由于實時定位的需要，要求每個歷元都要對用戶大氣延遲進行建模改正，因此選用的時段除了要求參考站網模糊度固定外，還應保持時間的連續性。

2普通Kriging插值法對用戶大氣延遲的建模實現

Kriging插值法是最早由南非礦業工程師Krige提出的一種空間自協方差最佳插值法，在地下水模擬、土壤制圖、地質統計等方面得到了廣泛應用，可對研究對象提供一種最優線性無偏估計。普通Kriging插值法既可對點進行估計，也可對塊或區域屬性進行估計[12]。相對于NRTK中常用的其他幾種內插方法，Kriging插值法考慮了樣本數據在空間和時間上的相互關系，并以半方差的形式來體現[13]；同時和常規數學內插方法不同的是，Kriging插值法以克里金方差來對插值結果進行衡量。普通Kriging插值法關鍵步驟是求各樣本數據的權重，求出權重后即可對待估點進行估計，普通Kriging插值法的基本原理[14]為

(4)

式中：Z(xi)為樣本點屬性值;λi為系數。為實現最優線性無偏估計，必須滿足無偏估計和估計方差最小的2個條件，最終體現為

(5)

式中：γ(xi，xj)為2個樣本點之間的半方差；φ為最小化方差時的拉格朗日乘數。

Kriging插值法用于NRTK大氣誤差建模時，將各參考站視為樣本點，參考站上的大氣延遲信息(電離層、對流層)視為樣本點的屬性值。普通Kriging插值法對用戶大氣延遲進行實時建模估計大致可分為以下4個步驟：

1)實時解算參考站網絡基線模糊度，并按式(1)、式(3)求取相關基線的雙差對流層延遲、雙差電離層延遲，并根據參考站網絡基線的雙差對流層、雙差電離層延遲計算半變異函數值為

(6)

式中：(xi，yi)、(xj，yj)為2個參考站的平面坐標；h為參考站之間的距離；N為距離為h的參考站對數；Z(xi，yi)、Z(xi，yi)為(xi，yi)、(xj，yj) 2點上相應的對流層延遲或電離層延遲。

2)選擇合適的變異函數，常用的變異函數有線性模型、球狀模型、指數模型、高斯模型、冪函數模型、對數函數模型、空穴效應模型幾種。根據文獻[9-10]，高斯模型和指數模型比較適用于GNSS大氣延遲的建模估計，能夠較好地反映區域大氣延遲的空間相關性，它們的函數模型[15]為：

指數模型

(7)

高斯模型

(8)

變異函數選好后，根據第一步求得的半變異函數值來擬合變異函數中的參數c0、c1、a， 然后計算用戶與各參考站之間的變異值為

(9)

式中：n為參考站編號；u為用戶標識。

3)根據式(5)建立方程組，求解各參考站的Kriging插值權重為

x=A-1·b。

(10)

4)利用參考站基線雙差對流層延遲、雙差電離層延遲及各參考站相應的Kriging插值權重求用戶與主參考站間的雙差大氣延遲為

(11)

式(4)～式(11)即為用Kriging插值法對參考站網絡大氣延遲信息建模并估計流動站用戶大氣延遲的主要步驟，其中第二步的變異函數有多種模型可供選擇，包括線性模型、球狀模型、指數模型、高斯模型、冪函數模型、對數函數模型等；但只有指數模型、高斯模型、球狀模型較適用于大氣誤差的建模[10]，其他幾種模型的效果較差。

3實驗與結果分析

為有效評估Kriging插值法對用戶大氣延遲的的改正精度，將其插值結果與現階段廣泛運用的LIM、LCM、LSM 3種內插算法進行對比。實驗采用天津某CORS網中12個參考站(見圖1)的觀測數據，參考站間距為26.4 ～78.1 km不等，選取某日早上9—12時3 h的觀測數據，采樣間隔為1 s。對電離層進行建模估計時，Kriging插值法高斯模型改正精度略高于指數模型，而指數模型在對流層估計時改正效果優于高斯模型;因此，本文在構建Kriging插值法模型時，不再對變異函數的優劣進行探討，電離層估計時直接選用高斯模型，對流層估計選用指數模型。實驗時，選擇一個基站作為流動站，并估計各網絡基線的雙差模糊度；然后計算基線上的雙差電離層、對流層延遲，并以此作為標準值，用Kriging、LIM、LCM、LSM對流動站處雙差電離層、對流層延遲進行建模估計，將其結果與標準值進行對照。為充分探討Kriging插值法在大型NRTK中的適用性，分別設計了網內建模估計和網外建模估計2個實驗，即流動站位于CORS網內和網外2種情況。

圖1　基站分布圖

實驗一：以YC01為主參考站、CH01為流動站，用YC01-JIXN、YC01-TJA2、YC01-DZ02、YC01-KC02等其余基線的雙差電離層、對流層延遲來估計YC01-CH01基線的雙差電離層、對流層延遲，以此來模擬用戶位于網內的情況；選取8號衛星L1載波各基線的雙差大氣延遲進行實驗，以基線解算時估計的雙差電離層、對流層延遲為真值，將Kriging插值結果與真值進行對比，實驗結果如圖2、圖3所示。

圖2　Kriging插值法估計的雙差電離層延遲(網內)與標準值的比較

圖3　Kriging插值法估計的雙差對流層延遲(網內)與標準值的比較

實驗二：以YC01為主參考站、DZ02為流動站，距參考站網20.3 km，用YC01-JIXN、YC01-TJA2、YC01-DZ01、YC01-KC02等其余基線的雙差電離層、對流層延遲來估計YC01-DZ02基線的雙差電離層、對流層延遲，以此模擬用戶位于網外的情況；同樣采用8號衛星L1載波各基線的雙差大氣延遲為實驗數據，實驗結果如圖4、圖5所示。

圖4　Kriging插值法估計的雙差電離層延遲(網外)與標準值的比較

圖5　Kriging插值法估計的雙差對流層延遲(網外)與標準值的比較

為充分探討Kriging插值法對大氣延遲的改正效果，將Kriging插值法的結果與標準值作差，統計其對雙差電離層、對流層的改正精度；同時統計LCM、LSM 3種常用內插算法的改正精度，結果對比如表1和表2所示。表中In表示流動站位于網內的情況，Out表示流動站位于網外的情況。圖6、圖7為3種插值法的精度對比情況。

表1　電離層改正精度統計

表2　對流層改正精度統計

圖6　電離層建模精度對比

圖7　對流層建模精度對比

從圖2～圖5可以看出，Kriging插值法能夠有效估計流動站雙差大氣延遲，滿足大型NRTK的應用需求。在電離層估計方面，無論在網內還是網外一定范圍內，Kriging插值法都能較準確地估計流動站電離層延遲，且與理論值符合較好，插值精度維持在2 cm內；對流層估計方面，在網內時，Kriging插值法的估計精度較穩定地維持在4 cm內，在網外一定范圍時，插值精度雖然有所下降，但是在95%的置信區間下，仍能達到7 cm內的估計精度，滿足NRTK的大氣改正需求。

由表1、表2、圖 6、圖7可知，Kriging插值法相對于傳統常用的內插算法有一定優勢：在電離層估計方面，Kriging插值法與3種內插算法估計精度相當；對流層估計方面，Kriging插值法的精度要好于其他3種內插算法，特別是流動站位于網外的情況，LCM、LSM的估計精度都在dm級，而Kriging插值法仍能保持在cm級，好于其他2種算法。

4結束語

Kriging插值法雖然最初是基于地質學提出的，但是由于其能有效反應介質的空間相關性這一特性，將其引入NRTK中是可行的。實驗證明；Kriging插值法對大氣延遲的估計精度總體好于常規內插算法；特別是對流層估計方面，Kriging插值法相對于傳統內插算法具有一定優勢，不論流動站位于網外還是網內，插值精度都高于傳統算法。需要指出的是：Kriging插值法雖然精度好于常規內插算法，但是其數據處理量大大超過常規算法，是以處理時間換取了精度；如何減少Kriging插值法的反應時間和提高其數據處理的效率值得進一步研究。

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Errors correction of NRTK based on Kriging interpolation method

SHI Xin1，LV Zhiwei1，YANG Chuan2，ZHANG Yu1

(1.College of Navigation and Space Target Engineering，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China；2.Southwest Geotechnical Institute of China Nuclear Industry，Chengdu 610061，China)

Abstract：The paper used Kriging interpolation method to correct errors of rover to solve the problem that traditional interpolation method can’t correct well in network RTK，and explained the method with it’s mathematical principle.The results showed that Kriging interpolation method could correct user’s ionosphere delay and troposphere delay effectively and get higher accuracy than traditional interpolation method;the precision of ionosphere and tropospheric correction would have no obvious improvement while the user is inside of the stations net;and the Kriging interpolation method could correct atmospheric delay effectively even users locate a certain range outside of the stations net comparing with traditional interpolation method.

Keywords：Kriging；network RTK；ionosphere delay；troposphere delay；error correction

收稿日期：2015-09-11

基金項目：上海海事局項目(2013404705)；浙江北斗高精度地基增強網建設項目(AB14002006-4)。

第一作者簡介：石鑫(1990—)，男，四川成都人，碩士研究生，研究反向為NRTK相關算法。

中圖分類號：P228.1

文獻標志碼：A

文章編號：2095-4999(2016)02-0102-06

引文格式：石鑫，呂志偉，楊川，等.基于克里金插值法的NRTK誤差改正[J].導航定位學報，2016，4(2)：102-107.(SHIXin，LVZhiwei，YANGChuan，etal.ErrorscorrectionofNRTKbasedonKriginginterpolationmethod[J].JournalofNavigationandPositioning，2016，4(2)：102-107.)DOI：10.16547/j.cnki.10-1096.20160222.