大學生數學競賽題對數學分析課程教學的促進作用*

劉小松

(嶺南師范學院 數學與計算科學學院，廣東 湛江 524048)

大學生數學競賽題對數學分析課程教學的促進作用*

劉小松

(嶺南師范學院 數學與計算科學學院，廣東 湛江 524048)

摘要：以近幾屆全國大學生數學競賽數學專業組的預賽題為例，淺析其對數學分析課程教學的促進作用，這無疑將推動數學分析課程的教學改革，從而促進優秀的數學人才脫穎而出。

關鍵詞：大學生數學競賽題；數學分析；促進作用

全國大學生數學競賽是一項由中國數學會普及工作委員會舉辦的全國性賽事，參加對象是大學本科二年級及以上的在校大學生，分數學專業組和非數學專業組，該賽事始于2009年，已舉辦7屆，旨在“為青年學子提供展示數學特長的舞臺，也為發現和選拔優秀數學人才積累資源”[1]。現影響日益擴大，參賽人數眾多，越來越受到社會各界的關注。本文結合本人多次帶隊參加全國大學生數學競賽廣東賽區比賽的體會以及近幾年全國大學生數學競賽數學專業組的預賽題，從以下三個方面進行剖析，以期起到“拋磚引玉”的作用。

1競賽題對數學分析課程概念、性質內容教學的促進作用

以下為首屆全國大學生數學競賽初賽題(數學專業類)的第五題：

2競賽題對數學分析課程數學應用內容教學的促進作用

第三屆全國大學生數學競賽初賽題(數學專業類)有下面一道計算應用題(第四題)：對于ΔABC，求3sinA+4sinB+18sinC的最大值。初看此題，以下兩個思路很自然，第一易認為這是一道初等數學應用題，用中學的知識和方法即可解決，其實經過一番嘗試后，用中學的知識解決非常艱難，且技巧性非常高，計算量大；第二易視該題為典型的條件極值問題，用拉格朗日乘數法求解是常規解法，但經仔細推敲，發現建立的拉格朗日函數有四個變量，穩定點不好確定，且極大值點的判別也不容易。因此，這兩個思路只能遺憾地加以放棄。學過數分的人熟知，一元函數的最值問題相對好處理，而且方法也較多，因此，直接將三元函數最值問題化為二元函數最值問題，然后再將二元函數最值問題化為一元函數最值問題，這很可能是一條邁向成功之路。當然，以上想法也有一個難點，就是如何轉化? 但利用熟悉的三角恒等式和柯西不等式，發現這個難點是不難突破的。最后，通過一元函數最值問題的常規解法，本題獲得圓滿的解決。本題的解決給我教學的最大啟示是：對一些經典問題，也不能思維定勢，退一步可能是海闊天空。另外，這道題也可進一步推廣，即將相應三角函數前面的系數一般化(適當加以限制)，我指導的一篇10屆本科畢業論文就是從該題出發，得到較為一般的結論。

3競賽題對數學分析課程計算內容教學的促進作用

首屆全國大學生數學競賽初賽題(數學專業類)有這樣一道題：

初步瀏覽該題，這是一道計算二重積分的題，常規解法是化二重積分為累次積分。由于該題的函數是以微分方程形式給出，是隱函數，而非顯函數，直接計算肯定很困難，但從積分域上，很自然想到用極坐標變換比較合適。而利用了極坐標變換后，接下來就是將變換后的二重積分化為累次積分。但化為累次積分，又遇到難關，由于被積函數不是顯函數，不能直接用定積分進行計算。但聯想到第二型曲線積分可化為定積分后，當然定積分也可化為第二型曲線積分，因此將第一個積分化為第二型曲線積分不失為一個好的辦法。最后利用格林公式和已知條件，就將一道二重積分題化為一道先二重后一重的積分問題，這樣迂回的好處是最后積分的被積函數“神奇”地變為具體函數，再輕松地利用極坐標變換，就化為熟悉的定積分，求解變為舉手之勞之事。縱觀該題的解法，極坐標變換起了最關鍵的作用，把“未知”化為“已知”，化“難”為“易”，不僅是中學數學的常用做法，也為數學分析課程的常用做法。該題也是一道綜合題，考察了多個知識點：極坐標變換、二重積分化累次積分公式、第二型曲線積分化定積分公式以及格林公式等。

4結語

全國大學生數學競賽題數學分析題占整個競賽內容的50%左右，其綜合性，技巧性和新穎性，在參賽學子的腦海里已牢牢地留下印記。本文僅從三個實例剖析競賽題對數學分析課程教學的促進作用，很可能有遺漏和體會不深刻的地方，但即便如此，這對我開展數學分析課程的教學收益頗豐，主要體現在對數學分析課程概念、性質和計算等教學內容的把握上，對學生邏輯思維的訓練上有進一步的感性認識，從而促進數學分析課程的教學。

參考文獻：

[1] 張天德，崔玉泉.全國大學生數學競賽輔導指南[M].北京：清華大學出版社，2014.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析(上冊)[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

(責任校對謝宜辰)

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.06.010

收稿日期：20160201

基金項目：嶺南師范學院2014年精品課程建設項目

作者簡介：劉小松(1968- )，男，湖南邵陽人，教授，博士，主要從事多復分析研究。

中圖分類號：G642.4

文獻標志碼：A

文章編號：1674-5884(2016)06-0029-02