例析函數值域（最值）的求解策略

張梅

摘 要 通過具體例題，介紹求函數值域（最值）的常用方法。

關鍵詞 值域（最值）方法 函數 求解策略

中圖分類號：G683.6 文獻標識碼：A

1函數的值域（最值）的知識點

（1）函數的值域：函數，（集合A是函數的定義域）。與x的值相對應的y的值稱為函數值，函數值的集合（函數的值域。

（2）最大值定義：設函數的定義域為A，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得。稱是函數的最大值。

（3）最小值定義：設函數的定義域為A，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得。稱是函數的最小值。

（4）一般地，如果在區間[a，b]上函數的圖像是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，且值域為。

2函數的值域（最值）求解策略

函數的值域（最值）沒有通性解法，只能依據函數解析式的結構特征來確定相應的解法，下面見方法。

2.1分析觀察法

對于結構簡單的函數，可以通過基本初等函數的性質及不等式的性質觀察出函數的值域（最值）

例1：求下列函數的值域。

2.2分離常數法

對于形如的函數，可采用分離常數法求值域（最值）。

例2：求函數的值域。

2.3反解x法

對于形如（或能夠轉化為）的函數，可以采用反解x法求值域（最值）。

例3：求下列函數的值域。

2.4配方法

對于二次函數或能夠轉化為的函數，可以通過配方法求函數的值域（最值）。

例4：求下列函數的值域。

函數圖像是對稱軸為的開口向下的拋物線，

2.5換元法

用新變量代替原來函數中的某部分對象，實現化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理超越式為代數式等，將比較復雜的函數轉化成易于求值域（最值）的函數進行求解。

例5：求下列函數的值域。

當即也即時，有最小值；

當即也即時，有最大值。

值域為。

點評：換元法要注意考慮新元“t”的取值范圍。

2.6單調性法

對于能快速判斷單調性的函數，可采用單調性法求值域（最值）。

例6：函數的值域為__________。

解：函數的定義域為，顯然在其定義域上單調遞增，

∴當x=1時，函數有最小值，故值域為。

2.7判別式法

對于形如、、的函數，我們可以將其轉化為的形式，再通過求得的范圍。但當函數為指定的函數時，用判別式法求出y的范圍后，應將端點值代回到原函數進行檢驗，避免發生錯誤。

2.8數形結合法

通過聯想，構造幾何模型，探求問題的簡捷解法。對于形如的最值問題，我們一般可以轉化為的斜率問題；對于形如的最值問題，我們一般可以轉化為動直線的截距問題；對于形如的最值問題，我們一般可以轉化為動點到定點的距離問題。

2.9構造輔助角法

由于正余弦函數都是有界函數，值域為[-1，1]，通過構造輔助角，利用函數的有界性，可求得（最值）。

2.10導數法

一般地，當函數較為復雜而使用其它方法未能奏效時，我們往往可以使用導數法來進行求解。