張拉整體三棱柱構型和結構穩定性分析

羅阿妮， 王龍昆， 劉賀平， 王媛媛， 李全賀， 曹鵬飛

(哈爾濱工程大學 機電工程學院, 哈爾濱 150001)

張拉整體三棱柱構型和結構穩定性分析

羅阿妮， 王龍昆， 劉賀平， 王媛媛， 李全賀， 曹鵬飛

(哈爾濱工程大學 機電工程學院, 哈爾濱 150001)

摘要:為深入研究三桿張拉整體基本單元結構的構建方法和穩定性判定問題. 提出以結構外形幾何參數為基礎，應用節點廣義坐標矢量矩陣、構件矢量矩陣和連接矩陣建立數學模型，并用MATLAB編程實現單元結構的自動構型. 引入構件力密度標量，建立系統力平衡矢量矩陣方程，分析結構的穩定性，把非線性系統平衡問題轉化為線性系統平衡問題. 通過分析平衡矩陣，對結構系統進行分類，篩選出能夠構建起穩定結構的幾何參數的變化范圍. 本研究方法具有通用性，適用于其它張拉整體結構形式的構型和穩定性分析.

關鍵詞:張拉整體棱柱；節點矢量矩陣；力密度；平衡矩陣；自應力穩定結構

張拉整體結構是由離散的壓桿和連續的拉索組成的自平衡、自支撐結構，是一種新型空間結構體系. 自從張拉整體結構誕生以來，學者們從不同的方向對該結構進行了廣泛研究. Zhang等[1]在張拉整體棱柱結構的基礎上，提出了雙面“星形”張拉整體結構；Skelton等[2-4]利用張拉整體棱柱拓撲得到了“塔形”張拉整體結構，完成了該結構的構型和力學分析；Pellegrino等[5-7]提出了利用結構的自應力模態數和機構位移模態數對索桿張拉結構體系進行分類，通過矩陣分析判定結構的幾何穩定性；Guest[8-9]通過構件的力平衡方程得到結構的切線剛度矩陣，并對切線剛度矩陣各部分的物理意義進行了分析. 在Pellegrino和Calladine提出的索桿結構體系分類理論基礎上，Lazopulos等[10-11]對第IV類體系的幾何穩定判定方法進行了更深入的研究；羅堯治等[12-13]對索桿張力結構體系的幾何穩定性和可動性進行了細致全面的研究. 現有文獻對基本單元的研究主要集中在3根桿等長、9根索等長，且具有嚴格對稱性的結構.

為了構建形式更為多樣的空間大型結構，有必要對基本單元進行擴展性探索. 本文從基本單元節點廣義坐標出發，構建基本體數學模型和力學模型，解決基本單元穩定構型問題.

1結構的數學模型

張拉整體結構是由節點、索構件、桿構件組成的. 搭建張拉整體結構，必須要確定各構件的結構尺寸. 所有構件均與節點關聯，因此從節點出發，構建結構數學模型，獲得構件尺寸與結構幾何參數的關系. 1.1節點矢量矩陣

張拉整體三棱柱由6個節點、3根壓桿和9根拉索組成，如圖1所示，圖中虛線表示結構包絡外形，粗實線表示桿構件，細實線表示索構件，箭頭表示各構件矢量方向. 張拉整體三棱柱外接一圓柱體，設此圓柱體的截面圓半徑為R，圓柱體的高度為h. 頂面和底面三角形存在一個相位角[14-15]，設此相位角為φ.

(a) 軸測圖

(b) 俯視圖

建立如圖1所示的直角坐標系，分析數學模型和幾何參數之間的函數關系.

結構下底面的節點位置可分別表示為

結構上底面節點位置可表示為

將結構兩底面的節點坐標按順序組合，可得表示所有節點位置的節點矢量矩陣N，且

1.2構件矢量矩陣

結構中各構件都連接于節點上，因此可以通過節點來確定構件矢量. 由圖1可知節點與桿索構件矢量的連接關系，構件與節點的連接關系列于表1和表2.

表1　桿與節點的連接關系

表2　索與節點的連接關系

由表1可知，第i個桿構件矢量可表示為

所有桿構件矢量按列組合，形成結構的桿矢量矩陣為

結構中索矢量矩陣可表示為

2結構的平衡狀態分析

2.1外部載荷

在張拉整體結構的3個要素中，索構件在承受外部載荷時可能處于拉伸狀態，也可能處于放松狀態，其自由度很難確定；桿構件在外部載荷的作用下有6個自由度；節點在外部載荷的作用下只有3個自由度. 所以，以系統的節點廣義坐標矢量矩陣為基礎定義外部載荷，可以在很大程度上減小理論分析的過程和難度，具有顯著的優越性.

張拉整體三棱柱結構的外部載荷作用于其節點上，結構中節點i上的外部載荷表示為

那么，結構中所有節點的外部載荷可以用矩陣W表示，將其命名為外力矩陣：

外力也可以表示為列向量的形式，即

2.2構件內力

當結構處于穩定狀態時，每個節點都在外部載荷和構件內力作用下保持平衡. 為確定構件內力與構件矢量的關系，引入力密度[12]. 設桿構件i的力密度為λi(λi≥0)，此構件的內力可表示為

設索構件j的力密度為γj(γj≥0)，其內力可表示為

那么，結構中索構件力密度和桿構件力密度可分別表示為

2.3結構的力平衡方程

在張拉整體三棱柱的節點ni處于平衡狀態時，有

(1)

式中：

(2)

將等式(2)帶入等式(1)，可得

進一步推導，可得整個結構的力平衡方程：

(3)

式中：w是外力列矢量，A是系統平衡矩陣，

外載荷、幾何參數及力密度構成了系統力平衡線性方程組. 求解方程(3)，即可評價系統的受力狀態. 該方程有非負力密度標量解，是系統能夠處于平衡狀態，且桿只受壓力、索只受拉力的先決條件. 下面就從平衡矩陣分析角度出發，進行系統穩定性判定.

3結構的穩定性判定

3.1結構穩定性

在張拉整體三棱柱結構中，每個節點連接3根索和1根桿. 由于索構件只承受拉力，桿構件只承受壓力，結構若在節點處保持力平衡和幾何穩定，則在自應力模態下桿構件必須位于以節點為頂點、以3根索為棱邊構成的三棱錐錐體幾何空間的內部. 同時，結構相位角直接影響系統穩定性.

當結構的相位角φ=0(如圖2所示)時，所有構件均處于三棱柱外表面(面n1n2n4n6、面n2n3n5n4、面n3n1n6n5)上. 連接于同一節點的4個構件中，桿與一根端面索及連接兩個端面的索這3個構件共面，其合力與第4個構件的內力無法平衡，因此任何節點在無外載荷情況下，不能實現自應力平衡，即整個結構不是自應力穩定結構. 圖2右側的物理模型必須在外力作用下才能夠實現該位置結構平衡，證實了該位置結構不能達到自應力平衡.

圖2　臨界狀態φ=0(構件布置在三棱柱外表面)

當相位角φ=π/3(如圖3所示)時，3根桿交于桿中點，所有構件均在三棱柱3個對角平面(面n1n2n4n5、面n2n3n5n6、面n3n1n6n4)上. 任一節點4個構件有3個共面，因此無法施加預應力達到結構自應力平衡狀態. 右側物理模型需要約束3根桿交點才能夠實現結構平衡，證實了該位置結構不能自應力平衡穩定.

圖3　臨界狀態φ=π/3(構件都布置在棱柱對角面)

3.2幾何穩定性

3.2.1判定方法

通過求解系統平衡方程式(3)，利用方程解的情況來分析結構是否穩定. 為了分析方程的解，應用奇異值分析方法(SVD)，對系統平衡矩陣進行分析，結合自應力模態數和位移模態數判斷系統穩定性.

式中：

D11≥D22≥…≥DnrA×rA≥0為非零奇異值，U和V均為正交陣. 記

張拉整體三棱柱結構的自應力模態數s和位移模態數m分別為

(4)

式中：p為桿構件數量，q為索構件數量，n為節點數，k為約束節點的數量(本文中k=3，約束節點n1-n3).

通過自應力模態數s和位移模態數m便可初步判斷結構的幾何穩定性. 文獻[5-7]中，在機構位移模態數m和自應力模態數s的基礎上對桿系結構進行了分類，見表3.

表3　結構體系分類

類型I為靜定結構，無機構位移模態和自應力模態，不可施加預應力，不可發生零應變幾何變位. 類型II為有限機構，不可施加預應力，可以有零應變幾何大變位. 類型III為超靜定結構，可施加預應力，實現自應力平衡. 類型IV可以施加預應力，可以有零應變幾何大變位；若自應力能夠剛化應變，則幾何穩定，通常稱為無限小機構[14].

3.2.2第IV類結構幾何穩定性

文獻[14-16]中給出了第IV類體系幾何穩定性的判定方法：

當結構存在位移模態(m>0)和自應力模態(s>0)時，結構的節點處將產生幾何力G，幾何力G由相應的自應力模態和位移模態求解獲得.

對于單一自應力模態(s=1)體系，若對任意的非零向量βm×1，滿足

(5)

則表明各機構位移模態的任意組合，都將在自應力下得到剛化結構幾何穩定.

3.3分析結構自應力穩定條件

通過分析結構的平衡矩陣，獲得平衡矩陣的秩及自應力模態數s和位移模態數m值. 利用MATLAB程序(程序框圖如圖4所示)，以及式(4)和表3對結構(三棱柱的結構參數R=0.5m,h=1m)的穩定性進行判斷.

圖4　穩定性判斷流程圖

張拉整體三棱柱結構的相位角變化對結構體系分類影響的分析過程如圖5所示. 相位角φ∈(0,π/3)變化時，結構的仿真模擬如圖5(a)所示，s和m的具體結果如表4所示.

(a)過程模擬　　　　 (b) 物理模型

相位角位移模態數自應力模態數π/1800π/900π/6112π/9005π/1800

由表3和參考文獻[5-7]可知，當相位角φ∈[0,π/6)∪(π/6,π/3]，屬于第I類結構體系，結構是靜定、動定體系；不可施加預應力，不可有幾何變位；對于給定的外載荷有唯一的穩定狀態；不能構成自應力穩定結構、可以構建外載荷下唯一的結構形式.

為了驗證方法及程序仿真分析的正確性和可行性，制作了物理模型(如圖5(b)所示，索s7-s9使用彈性材料以便適應相位角φ變化時索長的變化)，設定R=10,h=20，進行不同相位角，結構穩定性物理模型驗證.

相位角φ=π/6(如圖6所示)，結構的位移模態數m=1，自應力模態數s=1，結構屬于第IV類體系，結構的穩定性還需要進一步判斷.

圖6　張拉整體三棱柱(φ=π/6)

通過等式(5)，求得三棱柱結構在相位角φ=π/6時βT(GTU18-rA)β=0.064 1，滿足自應力剛化結構幾何變位條件，即結構為無限小機構，能夠實現自應力平衡穩定結構.

從節點受力角度來理解不同相位角下結構的穩定性問題. 當相位角φ=π/6時，無外載荷的情況下，任一節點受到的端面索合拉力、桿支撐力、端面間索拉力3個力共面，總合力為零，節點能夠在自應力作用下達到力平衡穩定狀態，即整個系統是可以施加預應力的自應力穩定結構. 當相位角φ∈[0,π/6)∪(π/6,π/3]時，無外載荷的情況下，任意節點受到的桿構件的力、端面間索拉力，不可能與端面索合力共面，也即任意節點的合力不能為零，節點不能在預應力下達到自平衡狀態，即結構不能實現自應力平衡.

綜上，要構建3桿9索張拉整體三棱柱自應力平衡穩定結構，其相位角應該滿足φ=π/6.

4結論

1)以張拉整體三棱柱結構的幾何外形參數為基礎，構建節點廣義坐標矢量矩陣、構件矢量矩陣和節點與構件之間的連接矩陣，建立基于節點廣義坐標的結構自動構型數學模型.

2)基于系統力平衡及節點受力分析，引入力密度參量，把構件力與構件矢量直接聯系起來；構建三棱柱結構系統基于節點廣義坐標與連接矩陣的關于力密度非負標量參數的線性力學模型.

3)通過分析系統平衡矩陣，利用結構的自應力模態和機構位移模態得到結構的幾何力，以幾何力為判據，完成了結構幾何外形參數相位角取值范圍的判定.

4)拓展了傳統基本單元構型過程中所有索段長度相同的限制條件，提出了能夠適用于不同幾何外形參數的三棱柱單元的穩定構型理論.

參考文獻

[1] ZHANG J Y, GUEST S D, CONNELLY R, et al. Dihedral ‘star’ tensegrity structures[J].International Journal of Solids and Structures, 2010, 47(1): 1-9.

[2] De OLIVEIRA M C, SKELTON R E. A new topology of tensegrity towers with uniform force distribution[C]//Proceedings of the society of photo-optical instrumentation engineers (SPIE). San Diego: SPIE, 2005: 198-208.

[3] De OLIVEIRA M C, SKELTON R E, CHAN W L. Minimum mass design of tensegrity towers and plates[C]//IEEE Conference on Decision and Control. New York: IEEE, 2006: 2314-2319.

[4] MASIC M, SKELTON R E. Optimization of class-2 tensegrity towers[C]//Proceedings of the society of photo-optical instrumentation engineers (SPIE). San Diego: SPIE, 2004: 163-174.

[5] PELLEGRINO S, CALLADINE C R. Matrix analysis of statically and kinematically indeterminate frameworks[J]. International Journal of Solids and Structures, 1986, 22(4): 409-428.

[6] PELLEGRINO S. Analysis of prestressed mechanisms[J]. International Journal of Solids and Structures, 1990, 26(12): 1329-1350.

[7] PELLEGRINO S. Structural computations with the singular value decomposition of the equilibrium matrix[J]. International Journal of Solids and Structures, 1993, 30(21): 3025-3035.

[8] GUEST S D. The stiffness of prestressed frameworks: A unifying approach[J]. International Journal of Solids and Structures, 2006, 43(3/4): 842-854.

[9] GUEST S D. The stiffness of tensegrity structures[J]. IMA Journal of Applied Mathematics, 2011, 76(1SI): 57-66.

[10]LAZOPULOS K A. Stability of an elastic cytoskeletal tensegrity model[J]. International Journal of Solids and Structures, 2005, 42(11/12): 3459-3469.

[11]LAZOPULOS K A. Stability of an elastic tensegrity structure[J]. Acta Mechanica, 2005, 179(1/2): 1-10.

[12]羅堯治，陸金鈺. 桿系結構可動性判定準則[J]. 工程力學, 2006(11): 70-75.

[13]羅堯治. 索桿張力結構幾何穩定性分析[J]. 浙江大學學報(理學版), 2000, 27(6): 608-611.

[14]OLIVEIRA M C, SKELTON R E. Tensegrity Systems[M]. [S.l.]:Springer, 2009:106-110.

[15]ZHANG P, KAWAGUCHI K I, FENG J. Prismatic tensegrity structures with additional cables: Integral symmetric states of self-stress and cable-controlled reconfiguration procedure[J]. International Journal of Solids and Structures, 2014, 51(25/26): 4294-4306.

[16]陸金鈺. 動不定結構的平衡矩陣分析方法與理論研究[D]. 杭州：浙江大學, 2008：33-56.

(編輯楊波)

Analysis of configuration and structural stability of 3-bar tensegrity prism

LUO Ani, WANG Longkun, LIU Heping, WANG Yuanyuan, LI Quanhe, CAO Pengfei

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:This paper focuses on the problem that how to build up basic 3 bars tensegrity unit structure and how to judge its stability. Based on the outer shape geometry parameters, using node general coordinates, member vector matrices, connectivity matrices, the mathematical model of basic 3 bars tensegrity unit is presented. To build up structures automatically, a program is established in the MATLAB software by which one can build any basic 3 bars tensegrity structure under the given outer shape geometry parameters. Then, the scalar parameters force densities are introduced. With the connectivity matrices and node general coordinates, the equilibrium matrix function is built. It is linear about force densities. The balance matrix specifies the given system as one of four kinds of structures, and the stable structure can be chosen out.

Keywords:tensegrity prism; node vector matrix; force density; equilibrium matrix; self-stress stable structure

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.07.013

收稿日期:2015-01-16

基金項目:黑龍江省自然科學基金(11202128)；機器人技術與系統國家重點實驗室(HIT)開放研究項目(SKLRS(HIT)2014ZD05,2015MS01)；哈爾濱工程大學中央高校基本科研業務費專項資金(HEUCF160702)

作者簡介:羅阿妮(1978-)，女，博士，副教授

通信作者:劉賀平，liuheping @hrbeu.edu.cn

中圖分類號:TU12

文獻標志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)07-0082-06