基于數(shù)學(xué)課堂的“化歸思維”培養(yǎng)

張敏

摘 要：所謂“化歸”就是“轉(zhuǎn)化和歸結(jié)”的簡(jiǎn)稱，化歸思想方法是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一般方法，其基本思想是：把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，而獲得原問(wèn)題的解決。其實(shí)質(zhì)是將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為已掌握的舊知識(shí)，從而進(jìn)一步理解并解決新問(wèn)題。本文對(duì)化歸思維的培養(yǎng)做了一些探討。

關(guān)鍵詞：化歸思想；化歸方法；化歸原則；問(wèn)題解決

化歸思想不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略。化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法。一般是將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；將難于求解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題；將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用化歸思想，常常可以將生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，使問(wèn)題巧妙得到解決。如何讓學(xué)生在解題中體會(huì)歸思想，運(yùn)用化歸思想方法，這就要求教師從身邊的教學(xué)做起。

一、找準(zhǔn)起點(diǎn)，實(shí)施引領(lǐng)

學(xué)生已多次運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略學(xué)習(xí)新知識(shí)，解決新問(wèn)題。如，學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程時(shí)，已經(jīng)有運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)等方法對(duì)平面圖形進(jìn)行剪拼的經(jīng)驗(yàn)積累，在分?jǐn)?shù)加減法、小數(shù)乘除法等計(jì)算方法的探索過(guò)程中也積累了轉(zhuǎn)化知識(shí)，這些經(jīng)驗(yàn)的積累為學(xué)習(xí)化歸思想打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是，這些轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)又是零散的、不系統(tǒng)的，還需要進(jìn)一步感悟和提升。我們要努力讓學(xué)生產(chǎn)生“驀然回首”的頓悟和“心有靈犀一點(diǎn)通”的喜悅，從而主動(dòng)應(yīng)用轉(zhuǎn)化的策略解決問(wèn)題。

二、探究交流，感悟轉(zhuǎn)化

在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第71-72頁(yè)“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”一課時(shí)，為了讓學(xué)生感悟“轉(zhuǎn)化”的思想，筆者從以下內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)：

1.互動(dòng)嘗試：比較下面兩個(gè)圖形面積的大小。（圖略）

（1）創(chuàng)設(shè)三年級(jí)小朋友關(guān)于兩個(gè)圖形面積大小的爭(zhēng)論情境，引發(fā)產(chǎn)生探究欲望。

（2）學(xué)生操作，探索比較方法。

（3）交流展示，互動(dòng)點(diǎn)撥比較方法（平移、旋轉(zhuǎn)）。

（4）反思追問(wèn)：為什么剛開(kāi)始比較不出兩個(gè)圖形面積的大小，而現(xiàn)在能一下子準(zhǔn)確比較出來(lái)了？（點(diǎn)撥板書(shū)：復(fù)雜—簡(jiǎn)單）轉(zhuǎn)化前后，圖形的什么變了？什么沒(méi)變？

【設(shè)計(jì)意圖：在互動(dòng)嘗試環(huán)節(jié)，教師借助教材的例子，創(chuàng)設(shè)了爭(zhēng)論情境，疑問(wèn)驅(qū)使學(xué)生去思考，自主探究已成為他們的一種需要，在操作中自主找到了平移旋轉(zhuǎn)這一轉(zhuǎn)化方法，從而將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，又在比較中初步感受“變”與“不變”的辯證統(tǒng)一。】

過(guò)渡：同學(xué)們，這是多么有智慧的一變呀！你們?cè)诒ＷC面積不變的情況下，將這兩個(gè)圖形巧妙地進(jìn)行變形，問(wèn)題就迎刃而解了。這就是小變化，大智慧呀！

2.簡(jiǎn)單運(yùn)用：漢字趣題。

（1）（課件出示“凸”字）如果將它看作平面圖形，它所有筆畫(huà)的總長(zhǎng)度，也就是周長(zhǎng)怎樣計(jì)算比較簡(jiǎn)便？相機(jī)演示并追問(wèn)：轉(zhuǎn)化前后，圖形的什么沒(méi)有變？

（2）（課件出示“凹”字）如果這兩個(gè)字字號(hào)一樣大，它們的周長(zhǎng)相等嗎？相機(jī)演示。追問(wèn)：還有其他比較的方法嗎？相機(jī)拓展。

（3）追問(wèn)：不管是轉(zhuǎn)化成同一種圖形還是同一個(gè)字，保證了什么不變？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1等探究題的操作體驗(yàn)，學(xué)生聯(lián)系實(shí)際感悟轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用，體會(huì)無(wú)論在過(guò)去、現(xiàn)在及將來(lái)，學(xué)習(xí)與生活中的轉(zhuǎn)化都是解決問(wèn)題的有效方法。】

三、做好鋪墊，促進(jìn)生成

“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海。”作為一種學(xué)習(xí)策略——化歸思想方法的掌握與獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、技能一樣，有一個(gè)感知、領(lǐng)悟、掌握、應(yīng)用的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是潛移默化的，長(zhǎng)期的、逐步累積的。教學(xué)中應(yīng)結(jié)合典型教材，逐步滲透、適時(shí)點(diǎn)明，使學(xué)生認(rèn)識(shí)化歸的思想和方法。

例： 在教學(xué)“除數(shù)是小數(shù)除法”這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，筆者是這樣設(shè)計(jì)教學(xué)的：

（1）計(jì)算并思考各式之間有什么規(guī)律，運(yùn)用了什么性質(zhì) ？

12÷4=（ ），120÷40=（ ），1200÷400=（ ）。

（2）在括號(hào)里填上合適的數(shù)，除數(shù)必須是整數(shù)，商不變。

1.2÷0.4=（ ）÷（ ），

3.6÷0.006=（ ）÷（ ）。

通過(guò)這組習(xí)題，學(xué)生重溫了“商不變性質(zhì)”，為除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法奠定了基礎(chǔ)。

四、化繁為簡(jiǎn)，策略先行

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，直接解答過(guò)程會(huì)比較煩瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，找到解決問(wèn)題的方法或建立模型，并進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn)，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)便得到解決。下面舉例加以說(shuō)明。

案例1：把186拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大？187呢？

分析：此題中的數(shù)比較大，如果用枚舉法一個(gè)一個(gè)地猜測(cè)驗(yàn)證，比較煩瑣。如果從比較小的數(shù)開(kāi)始枚舉，利用不完全歸納法，看看能否找到解決方法。如從10開(kāi)始，10可以分成：1和9， 2和8， 3和7， 4和6， 5 和5。它們的積分別是：9， 16， 21， 24， 25。可以初步認(rèn)為拆分成相等的兩個(gè)數(shù)的乘積最大，如果不確定，還可以再舉一個(gè)例子，如12可以分成：1和11， 2和10， 3和9， 4和8， 5和7， 6和6， 它們的積分別是：11， 20， 27， 32， 35， 36。由此可以推斷：把186拆分成93和93， 93和93的乘積最大，乘積為8649。適當(dāng)?shù)丶右詸z驗(yàn)，如92和94的乘積為8648， 90和96的乘積為8640， 都比8649小。

因?yàn)?87是奇數(shù)，無(wú)法拆分成相等的兩個(gè)數(shù)，只能拆分成相差1的兩個(gè)數(shù)，這時(shí)它們的乘積最大。不再舉例驗(yàn)證。

案例2：你能快速口算85×85，95×95，105×105嗎？

分析：仔細(xì)觀察可以看出，此類題有些共同特點(diǎn)，每個(gè)算式中的兩個(gè)因數(shù)相等，并且個(gè)位數(shù)都是5。如果不知道個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積的規(guī)律，直接快速口算是有難度的。那么，此類題有什么技巧呢？不妨從簡(jiǎn)單的數(shù)開(kāi)始探索，如15×15=225，25×25=625，35×35=1225。通過(guò)這幾個(gè)算式的因數(shù)與相應(yīng)的積的特點(diǎn)，可以初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25（5乘5的積）。所以85×85=7225，95×95=9025，105×105=11025，實(shí)際驗(yàn)證也是如此。

很多學(xué)生面對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，可能知道怎么解答，但是只要想起解答過(guò)程非常煩瑣，就會(huì)產(chǎn)生退縮情緒，或者在煩瑣的解答過(guò)程中出現(xiàn)失誤，這是比較普遍的情況。因此，學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)的解題策略，對(duì)于提高解決繁難問(wèn)題的能力大有幫助。

五、化歸在教學(xué)中的幾點(diǎn)建議

（一）注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握。

“知識(shí)技能”既是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，又是落實(shí)“數(shù)學(xué)思考”“問(wèn)題解決”“情感態(tài)度”目標(biāo)的載體。

為幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系、與學(xué)生學(xué)科知識(shí)聯(lián)系，組織學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，抽象概況，運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行判斷。

（二）感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。

（三）從化歸思想方法的角度分析教材內(nèi)容，同時(shí)深入教材提煉總結(jié)化歸思想。當(dāng)看到一些材料上面寫(xiě)著“當(dāng)作”“看作”這些字眼的，都需要教師去留意做筆記，這是化歸思想的具體體現(xiàn)，那么在教學(xué)的時(shí)候，就要將新舊知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，滲透化不熟悉為熟悉的原則，運(yùn)用化歸思想來(lái)教學(xué)生去解決問(wèn)題。

（四）數(shù)學(xué)教學(xué)更多的為解題教學(xué)。波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練。”解題訓(xùn)練不是題海戰(zhàn)術(shù)，在解題教學(xué)中要充分發(fā)揮化歸思想方法對(duì)發(fā)現(xiàn)解題的途徑和轉(zhuǎn)化的作用，突出化歸思想方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的指導(dǎo)作用。教師幫助學(xué)生挖掘題目的各個(gè)側(cè)面，能夠舉一反三；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考問(wèn)題的方法與手段，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在反思數(shù)學(xué)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納總結(jié)概括。

（五）教師在用化歸思想方法的角度分析教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，通過(guò)滲透階段、突破階段、應(yīng)用階段三個(gè)階段的學(xué)習(xí)，“一來(lái)提高了學(xué)生的興趣和關(guān)注程度，二來(lái)又使其容易理解和掌握相關(guān)知識(shí)，并且會(huì)使化歸思想深深地印在其腦海中，相信會(huì)使他們終身受益”。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑；尤其是化歸思想能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧希粌H有利于學(xué)生順利地、高效率地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開(kāi)發(fā)、能力的增強(qiáng)，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，甚至物理、化學(xué)等理科的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。