Poisson代數分解唯一性

張文慧，唐鑫鑫，于海燕，徐蘭蘭

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

Poisson代數分解唯一性

張文慧，唐鑫鑫，于海燕，徐蘭蘭

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

[摘要]給出了Poisson代數T的子代數、理想、同態等基本定義，通過引入T的T-自同態，得到具有平凡中心Poisson代數的分解在不計次序的條件下是唯一的.

[關鍵詞]Poisson代數；T-自同態；分解

1預備知識

分解唯一性在分析代數結構上具有重要的作用，自文獻[6]中給出了完備李代數的分解唯一性證明后，接著n-李代數，李三系，二次李超三系的分解唯一性也在文獻[7-9]中得到了證明.本文受李代數的啟發通過定義出具有雙代數結構Poisson代數的自同態，指出其分解在不計次序的條件下是唯一的.

文中域F的特征數ChF≠2，所研究的Poisson代數均是有限維的.

則稱T是域f上的李代數.

則稱T是域f上的Poisson代數.

2主要結果及證明

定理1設T1，T2，…，Tn是Poisson代數T的理想，并且T有理想的直和分解T=T1?T2…?Tn，則下列結果成立：

(2)如果S是Ti的理想，則S也是T的理想.

則稱Lx，rx分別是左右點乘變換，λx，ρx為左右括積變換.

根據Poisson代數定義可以得到：

ρxρy=ρ[y，x]+ρyρx，λx+ρx=0;

λx·y=ryλx+Lxλy，ρxLy=Lyρx+L[y，x].

定義5設T是域f上Poisson代數，S是其子集.則稱

為S在T中的零化子.

定理2若S是T的理想，則Cs也是T的理想.

證明設x∈Cs，y∈T，z∈S，

所以x·y∈Cs，同理，y·x∈Cs.又因為

定義6設T和L都是Poisson代數.如果T到L的線性映射f滿足：

定義7如果一個Poisson代數T的自同態f滿足

flx=Lxf，frx=rxf，fλx=λxf，fρx=ρxf，?x∈T，

則稱f是T的T-自同態.

設T是域f上Poisson代數，并且有分解T=T1?T2，其中T1，T2是T的理想，π1是T到T1的投影，則π1是T的T-自同態.

事實上，設x=x1+x2，y=y1+y2，xi，yi∈Ti，i=1，2.則

引理1設T是域f上的Poisson代數.則下列命題成立：

通過類似的推導即可完成證明.

μμ-1=μ-1μ=IdT，μ-1rx=μ-1rxμμ-1=μ-1μrxμ-1=rxμ-1，

同理可得

μ-1Lx=Lxμ-1，μ-1λx=λxμ-1，μ-1ρx=ρxμ-1.

引理2設T是域f上Poisson代數，并且有分解T=T1?T2，其中T1，T2是T的理想.則：

(1)CT有理想的分解

CT=CT1?CT2;

(1)

(2)若CT=0，則

T1=CT2，T2=CT1.

(2)

證明(1)設x=x1+x2∈CT，其中xi∈Ti，i=1，2.則

所以x1∈CT1，同理x2∈CT2，故CT?CT1+CT2.

反之，設x1+x2∈CT1+CT2，其中xi∈CTi.任意y=y1+y2∈T，其中yi∈Ti，i=1，2，有

即x1+x2∈CT，故CT=CT1+CT2.易得CT1，CT2均是CT的理想并且CT1∩CT2=0，故結論成立.

由于CT2=0，故x2=0，CT2?T1，從而T1=CT2.同理可得T2=CT1.

證明此引理證明很容易，故略去.

引理4設T是域f上Poisson代數，μ是T的T-自同態.則存在某個確定的n∈N，使得：

(1)T可分解為理想直和T=Imμn?Kerμn;

注意到

Imμn∩Kerμn=0，T=Imμn+Kerμn.

故Imμn是T的理想，類似可以證明Kerμn也是T的理想，從而結論成立.

證明對n用數學歸納法來證明.

這與μ1+μ2=IdT矛盾.

注引理中T不可分解的限制條件不可缺少.若T=T1?T2，π1，π2分別是T到T1，T2的投影，由前面的證明可知π1，π2是T的T-自同態，且π1+π2=IdT，但顯然π1，π2不是單射.

定理3設T是域f上Poisson代數，CT=0.則下列命題成立：

(1)T可分解成不可分解理想之和；

證明(1)因為T的維數是有限維的，故對T的維數用數學歸納法即可得證.

(2)對r用歸納法來證明此定理.當r=1時T=K1不可分解，所以s=1，T=K1=L1.

設

事實上，任意x，y∈K1，

同理

是K1的K1-自同態.

任意z∈K1，有

設K=K2?K3?…?Kr，L=L2?L3?…?Ls.根據引理2

K=CK1，K1=CK，L=CL1，L1=CL，Kerδ1=L.

[參考文獻]

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(責任編輯：李亞軍)

The uniqueness of the decomposition of Poisson algebra

ZHANG Wen-hui，Tang Xin-xin，YU Hai-yan，XU Lan-lan

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

Abstract:Necessary definitions are presented，such as subalgebras，ideals，homomorphism in Poisson algebras.Then by introducing T-endomorphisms，the uniqueness of the decomposition of Poisson algebras with trival center without considering the order is obtained.

Keywords:Poisson algebras；T-endomorphism；decomposition

[文章編號]1000-1832(2016)02-0006-05

[收稿日期]2014-10-21

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11171055)；吉林省自然科學基金資助項目(201301068JC).

[作者簡介]張文慧(1989—)，女，碩士，主要從事李代數研究.

[中圖分類號]O 152.5[學科代碼]110·21

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.002