“平面直角坐標系”中考題例析

陳國寶

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“平面直角坐標系”中考題例析

陳國寶

“平面直角坐標系”的引入標志著數學由常量向變量邁進，各地中考試題中關于這章內容的命題多是以選擇、填空題或作圖題形式出現，下面根據本章的知識點列舉一些典型的中考題與同學們分享.

一、對稱點的坐標特征

例1（2015·江蘇南京）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（2，- 3），作點A關于x軸的對稱點，得到點A′，再作點A′關于y軸的對稱點，得到點A″，則點A″的坐標是（_______，_______）.

【考點】對稱點的坐標特征.

【分析】關于x軸對稱的點的坐標特征：橫坐標相等，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點的坐標特征：橫坐標互為相反數，縱坐標相等.

解：∵點A的坐標是（2，- 3），

∴點A關于x軸的對稱點A′的坐標是（2，3），

∴點A′關于y軸的對稱點A″的坐標是（-2，3）.

【點評】本題考查了對稱點的坐標特征，解題關鍵是弄清關于x軸、y軸對稱的點的坐標間的關系.借助示意圖，解題更直觀.

二、圖形的變換

例2（2015·江蘇泰州）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點P旋轉得到，則點P的坐標為（）.

A.（0，1）B.（1，-1）

C.（0，-1）D.（1，0）

【考點】圖形旋轉的特征；點坐標的確定.

【分析】先通過觀察旋轉前后的兩個圖形的邊和角確定對應頂點，再分別作出兩對對應點連線段的垂直平分線，其交點即為旋轉中心P，從而確定點P的坐標.

解：（1，-1）.

【點評】本題考查了圖形旋轉的特征及點坐標的確定，解題關鍵是弄清對應點與旋轉中心間的位置關系與數量關系.

圖1

圖2

例3（2015·江蘇揚州）如圖2，在平面直角坐標系中，點B、C、E在y軸上，Rt△ABC經過變換得到Rt△ODE，若點C的坐標為（0，1），AC=2，則這種變換可以是（）.

A.△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3

B.△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移1

C.△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移1

D.△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移3

【考點】圖形的旋轉與平移特征；點坐標的幾何意義.

【分析】先根據題目提供的四個選項中圖形的變換情況，確定每種情況下△ABC經過變換后得到的△ODE的位置，再與題中圖形進行比較即得正確變換.

解：由題意得：AC=OE=2，CO=1，

綜合考察四個選項變換后△ODE的位置得正解：A.

【點評】本題考查旋轉、平移的性質，解題關鍵是弄清旋轉的中心、方向、角度與平移的方向、距離等要素.

三、綜合型問題

例4（2015·江蘇常州）如圖3是根據某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點O，古塔位于點A（400，300），從古塔出發沿射線OA方向前行300 m是盆景園B，從盆景園B向左轉90°后直行400 m到達梅花閣C，則點C的坐標是_______________.

圖3

【考點】點坐標的幾何意義；勾股定理；全等三角形的判定與性質.

【分析】先由點A坐標的幾何意義與勾股定理得出線段OA的長度，再根據全等三角形的判定與性質得到線段CA的長度，最后由點C到坐標軸的距離確定出它的坐標.

解：連接CA，

∵點A的坐標是（400，300），

∴AE=OD=400，AD=300.

∵∠ADO=90°，

∴由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，

OA2=4002+3002=250 000，

∴OA=500，

在△OAD與△CAB中，

∵AD=AB=300，∠ADO=∠ABC，OD= CB=400，

∴△OAD≌△CAB（SAS），

∴CA=OA=500，∠OAD=∠CAB.

∵∠OAD+∠DAB=180°，

∴∠CAB+∠DAB=180°，

∴點C、A、D三點在一條直線上，

∴CD⊥x軸，

∵CD=CA+AD=800，

∴點C的坐標是（400，800）.

【點評】本題考查點坐標的幾何意義、勾股定理、全等三角形的判定與性質等較多知識點，求點C的坐標即要求出點C到x軸、y軸的距離，而此題解題的關鍵是能通過條件發現兩個三角形全等.

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）