直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的規(guī)律探索題賞析

殷　萍

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直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的規(guī)律探索題賞析

殷萍

“規(guī)律探索問(wèn)題”是指給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過(guò)程，要求通過(guò)觀察、分析、推理，探求其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論，并加以驗(yàn)證的數(shù)學(xué)探究題.近幾年中考試題中除了典型的數(shù)、式、幾何圖形的規(guī)律探究外，還涌現(xiàn)出不少坐標(biāo)系中的新題，成為一個(gè)新的“亮點(diǎn)”，讓人深思，值得欣賞.

例1（2013·聊城）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動(dòng)，每移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…，那么點(diǎn)A4n+1（n為自然數(shù)）的坐標(biāo)為（用n表示）_______.

圖1

【解析】根據(jù)向上，向右，向下，向右的方向每次移動(dòng)一個(gè)單位，所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是0，1，1，2，2，3，3，4，…，特別是點(diǎn)A1、A5、A9、A13的橫坐標(biāo)分別為0，2，4，6，由此推知點(diǎn)A4n+1的橫坐標(biāo)為2n；所得點(diǎn)的縱坐標(biāo)依次是1，1，0，0，1，1，0，0，…，特別是點(diǎn)A1、A5、A9、A13的縱坐標(biāo)分別為1，1，1，1，由此推知點(diǎn)A4n+1的縱坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)A4n+1（n為自然數(shù)）的坐標(biāo)為（2n，1）.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，一方面可從圖形中觀察點(diǎn)的位置的變化，另一方面可分別尋找點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，即探索序號(hào)與橫坐標(biāo)的規(guī)律、序號(hào)與縱坐標(biāo)的規(guī)律的雙重關(guān)系，本題還需注意點(diǎn)An與點(diǎn)A4n+1的區(qū)別.

例2（2014·株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，孔明做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點(diǎn)出發(fā)，第1步向右走1個(gè)單位，第2步向右走2個(gè)單位，第3步向上走1個(gè)單位，第4步向右走1個(gè)單位…依此類(lèi)推，第n步的走法是：當(dāng)n能被3整除時(shí)，則向上走1個(gè)單位；當(dāng)n被3除，余數(shù)為1時(shí)，則向右走1個(gè)單位；當(dāng)n被3除，余數(shù)為2時(shí)，則向右走2個(gè)單位.當(dāng)走完第100步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是（）.

A.（66，34）B.（67，33）

C.（100，33）D.（99，34）

【解析】根據(jù)走法，每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右3個(gè)單位，向上1個(gè)單位，用100除以3，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出所處位置的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)即可.

解：由題意得，每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右3個(gè)單位，向上1個(gè)單位，∵100÷3=33余1，∴走完第100步，為第34個(gè)循環(huán)組的第1步，所處位置的橫坐標(biāo)為33×3+1=100，縱坐標(biāo)為33×1=33，∴棋子所處位置的坐標(biāo)是（100，33）.故選C.本題考查了坐標(biāo)確定位置，點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律變化，讀懂題目信息并理解每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵.

例3（2015·河南）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓O1，O2，O3……組成一條平滑的曲線，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2015秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）.

A.（2014，0）B.（2015，-1）

C.（2015，1）D.（2016，0）

圖2

【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索.

∵半圓的半徑r=1，∴半圓長(zhǎng)度=π，

∴點(diǎn)P位于第1008個(gè)半圓的中點(diǎn)上，且這個(gè)半圓在x軸的下方.

∴此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：1008×2-1= 2015，縱坐標(biāo)為-1，∴點(diǎn)P（2015，-1）.

練習(xí)

1.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將△A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在 x軸上，依次進(jìn)行下去….若點(diǎn)， B（0，4），則點(diǎn)B2014的橫坐標(biāo)為_(kāi)______.

圖3

2.如圖4，以O(shè)（0，0）、A（2，0）為頂點(diǎn)作正△OAP1，以點(diǎn)P1和線段P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正△P1BP2，再以點(diǎn)P2和線段P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作正△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，則第六個(gè)正三角形中，不在第五個(gè)正三角形上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是_______.

圖4

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）