操作探究　猜想結(jié)論　推理證明
——探究關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的活動(dòng)方案

陸祥雪　彭景暉

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操作探究猜想結(jié)論推理證明
——探究關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的活動(dòng)方案

陸祥雪彭景暉

【活動(dòng)背景】本次活動(dòng)是在同學(xué)們學(xué)習(xí)了《平面直角坐標(biāo)系》一章后，了解了坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)的情況下，利用幾何畫板軟件，探究關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn).將現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融合起來，通過操作、觀察、歸納、類比等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，發(fā)展合情推理能力，并認(rèn)識(shí)到結(jié)論的正確性要通過推理來確認(rèn).

【課前準(zhǔn)備】

筆記本電腦數(shù)臺(tái)，要安裝幾何畫板軟件，裝有投影設(shè)備的教室.

【活動(dòng)過程】

活動(dòng)一：觀看老師的操作步驟，模仿操作

步驟：1.打開幾何畫板界面，熟悉一些基本操作；

2.點(diǎn)擊“繪圖”菜單，在下拉菜單中，選擇“網(wǎng)格樣式”，再在其子菜單中，選擇“方形網(wǎng)格”（如圖1）；

圖1

3.標(biāo)注原點(diǎn)O，選擇“點(diǎn)”工具，分別在x、y正負(fù)半軸上，標(biāo)上點(diǎn)P、M、Q、N；

圖2

4.依次選中點(diǎn)P、O、Q，在菜單“構(gòu)造”的下拉菜單中，選擇角平分線，則可畫出x軸正半軸與y軸正半軸所夾角的平分線，類似可畫另外三條.

圖3

說明：把∠POQ、∠MON的角平分線合稱為：第一、三象限的角平分線；把∠MOQ、∠PON的角平分線合稱為：第二、四象限的角平分線.

5.在坐標(biāo)平面內(nèi)任點(diǎn)一點(diǎn)，利用菜單“顯示”的下拉菜單中的“點(diǎn)的標(biāo)簽”，標(biāo)注為點(diǎn)A.再點(diǎn)擊菜單“度量”的下拉菜單中的“坐標(biāo)”，就可以得到點(diǎn)A的坐標(biāo).點(diǎn)擊點(diǎn)A及∠POQ的角平分線，在菜單“變換”的下拉菜單中選擇“反射”，則可得到點(diǎn)A關(guān)于∠POQ的角平分線對(duì)稱的點(diǎn)，標(biāo)注為A′點(diǎn)并度量其坐標(biāo).

圖4

活動(dòng)二：小組活動(dòng)，觀察點(diǎn)A與點(diǎn)A′坐標(biāo)的特點(diǎn)

用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A，觀察當(dāng)點(diǎn)A變化時(shí)，點(diǎn)A′的坐標(biāo)變化情況，并做適當(dāng)記錄.類似探究關(guān)于∠MOQ、∠MON、∠PON的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn).

思考：1.點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是什么？

2.點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)Q′的坐標(biāo)是什么？

活動(dòng)三：全班交流，匯報(bào)觀察結(jié)果

第一小組匯報(bào)：我們發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（b，a）.

第二小組匯報(bào)：我們發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為（-b，-a）.其他小組表示贊同.

活動(dòng)四：證明結(jié)論

結(jié)論1平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（b，a）.

圖5

證明：連接PP′交于第一、三象限的角平分線于點(diǎn)Q，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，作P′N⊥y軸于點(diǎn)N，連接OP、OP′.因?yàn)辄c(diǎn)P、P′關(guān)于第一、三象限的角平分線對(duì)稱，可得OP=OP′，∠POQ=∠P′OQ，則∠POM= ∠P′ON.所以，△POM≌△P′ON.故OM=ON，PM=P′N.

又因?yàn)镻（a，b），所以，OM=ON=a，PM =P′N=b，即P′的坐標(biāo)為（b，a）.

結(jié)論2平面坐標(biāo)系內(nèi)任一點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-b，-a）.

仿結(jié)論1的證明方法，容易得證.各小組同學(xué)自行完成，相互評(píng)價(jià).

活動(dòng)五：理解與運(yùn)用

已知兩點(diǎn)D（1，-3）、E（-1，-4），點(diǎn)Q是第一、三象限的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，試求QD+ QE的最小值.

朱澤辰同學(xué)到黑板上展示他的解答過程.

解：作點(diǎn)D（1，-3）關(guān)于第一、三象限的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)D′，由結(jié)論1得，點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（-3，1）.再連接D′E，交第一、三象限的角平分線于點(diǎn)Q，則DQ+EQ最小.最小值即為D′E的長(zhǎng)，由勾股定理，得D′E=

圖6

【活動(dòng)收獲】通過本次活動(dòng)，你體會(huì)到將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相結(jié)合有什么優(yōu)勢(shì)？你體會(huì)到合情推理與演繹推理間的什么關(guān)系？

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）