用圖像法解決一次函數問題

朱宸材

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用圖像法解決一次函數問題

朱宸材

一次函數的圖像是數形結合思想在數學學習過程中的體現，在研究一次函數性質以及解決一次函數實際問題中起著重要作用.如果你把握住了一次函數圖像的特點，就能使解題簡單明了，事半功倍.下面我們從不同角度來看看一次函數圖像在解題中的運用.

一、一次函數的圖像及性質

一次函數y=kx+b的圖像為一條直線，與坐標軸的交點分別為，（0，b）.它的傾斜程度由k決定，b決定該直線與y軸交點的位置.

例1已知一次函數的圖像經過（2，5）和（-1，-1）兩點.

（1）畫出這個函數的圖像；

（2）求這個一次函數的解析式.

【分析】已知兩點可確定一條直線，運用待定系數法即可求出對應的函數關系式.

解：（1）圖像如圖1所示.

圖1

（2）設函數解析式為y=kx+b，

所以函數解析式為y=2x+1.

二、一次函數與方程（方程組、不等式）的關系

根據一次函數的圖像求出一元一次方程或二元一次方程（組）的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程（組）的解也可確定一次函數表達式.

例2如圖2所示，已知函數y=3x+b 和y=ax-3的圖像交于點P（-2，-5），則根據圖像可得不等式3x+b＞ax-3的解集是________.

圖2

【分析】由圖像知當x＞-2時，y=3x+b對應的y值大于y=ax-3對應的y值，或者y= 3x+b的圖像在x＞-2時位于y=ax-3圖像上方，故填x＞-2.

【分析】方程組中的兩個方程均為關于x，y的二元一次方程，可以轉化為y關于x的函數.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，實質上是兩個y關于x的一次函數，在平面直角坐標系中畫出它們的圖像，可確定它們的交點坐標，即可求出方程組的解.

解：由①得y=2x-2，

由②得y=-x-5.

在平面直角坐標系中畫出一次函數y=2x-2，y=-x-5的圖像，如圖3所示.

圖3

觀察圖像可知，直線y=2x-2與直線y=-x-5的交點坐標是（-1，-4）.

規律：解方程組通常用消元法，但如果把方程組中的兩個方程看作是兩個一次函數，畫出這兩個函數的圖像，那么它們的交點坐標就是方程組的解.

三、一次函數的圖像的平移問題

求一次函數圖像平移后的解析式是一類重要題型，在一次函數y=kx+b中常數k決定著直線的傾斜程度：直線y1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2平行?k1=k2.

一次函數平移的三種方式：

（1）上下平移：在這種平移中，橫坐標不變，改變的是縱坐標也就是函數值y.平移規律是上加下減.

（2）左右平移：在這種平移中，縱坐標不變，改變的是橫坐標也就是自變量x.平移規律是左加右減.

（3）沿某條直線平移：這類題目稍有難度，“沿”的含義是一次函數圖像在平移的過程中與沿著的那條直線的夾角不變.解題時抓住平移前后關鍵點坐標的變化.

例4（1）點（0，1）向下平移2個單位后的坐標是（0，-1），直線y=2x+1向下平移2個單位后的解析式是______.

（2）直線y=2x+1向右平移2個單位后的解析式是_______.

（3）如圖4，已知點C為直線y=x上在第一象限內一點，直線y=2x+1交y軸于點A，交x軸于B，將直線AB沿射線OC方向平移個單位，求平移后的直線的解析式.

圖4

【解析】根據平移規律，通過圖像可以比較容易地解決問題（.1）題經過點（0，-1），y=2x+1-2=2x-1.

（2）題中y=2（x-2）+1=2x-3.

（3）題中首先過B作B′B∥OC，然后過B′作B′D⊥x軸于D，

∴B′D=BD=3，

設平移后解析式為y=2x+b，

∴解析式為y=2x-2.

四、一次函數的圖像與實際問題

數學史上有這樣一個經典問題：某輪船公司每天中午都有一艘輪船從洛杉磯開往紐約，并且每天的同一時刻也有一艘輪船從紐約開往洛杉磯.輪船在途中所花的時間來去都是七晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上.問今天中午從洛杉磯開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來？

圖5

如果你經過深入思考后仍然無法回答這個問題，別著急.因為這道題曾經難倒過一些數學家.如果將這道題同我們所學的函數圖像聯系起來，解答就方便多了.如圖5所示，t軸代表時間，O點代表輪船出發的那一天，O點右邊的正數代表出發后的天數，O點左邊的負數則代表出發前的第幾天.S軸代表路程，O為洛杉磯的位置，另在S軸上任選一點A作為紐約的位置，這樣，從左上方畫向右下方的那組平行線就是輪船出發前后若干天內從紐約開往洛杉磯的各艘輪船的路程圖線；OM就是“今天中午從洛杉磯開出的那艘輪船”的路程圖線.從圖中可明顯地看出，從洛杉磯開出的輪船抵達紐約時，遇到了15艘同一公司的輪船從對面開來.于是這道看似非常困難的問題就這樣被輕而易舉地解決了.

綜上，利用圖像解決一次函數問題，關鍵要抓住圖像與函數中k、b的對應關系，特別是圖形的基本變換如平移、旋轉、翻折中k、b的變化情況，用好待定系數法，這樣就能迅速準確地解決一次函數的有關問題.

（作者單位：江蘇省無錫市金星中學）