生活中的一次函數

馬嬌

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生活中的一次函數

馬嬌

數學來源于生活，又服務于生活，同學們若能靈活運用數學知識解決生活問題，不僅能提高對數學知識的掌握理解能力，更能提高對知識的綜合運用水平.

函數是初中數學的重要內容，在生活中，一次函數隨處可見：某人帶了100元錢，要去買3元一只的羽毛球，他買了x只羽毛球，剩下的錢數y=-3x+100，在這里-3是一次函數中k的值，它的實際意義是買一個羽毛球花了3元，100是一次函數中b的值，它的實際意義是該人共帶了100元.本文通過幾例生活中常見問題的分析，提供函數問題的處理方法，希望能幫助同學們更好地解決實際問題.

例（2010·江蘇無錫）某客船往返于A、B兩碼頭，在A、B間有旅游碼頭C.客船往返過程中，船在C、B處停留時間忽略不計，設客船離開碼頭A的距離s（千米）與航行的時間t（小時）之間的函數關系如圖1所示.根據圖像提供的信息，解答下列問題：

圖1

（1）船只從碼頭A→B，航行的速度為______千米/時；船只從碼頭B→A，航行的速度為______千米/時；

（2）過點C作CH∥t軸，分別交AD、DF于點G、H，設AC=x，GH=y，求出y與x之間的函數關系式；

（3）若旅游碼頭C設在離A碼頭30千米處，一旅游團隊在旅游碼頭C分兩組行動，一組乘橡皮艇漂流而下，另一組乘船到達碼頭B后，立即返回.

①求船只往返C、B兩處所用的時間；

②兩組在途中相遇，求相遇時船只離旅游碼頭C有多遠.

【分析】根據本題提供的背景，不難看出是行程問題中的水流問題，同學們若能快速結合圖像中D（3，90）、F（7.5，0）的實際意義，便能順利求出順流的速度VA→B== 30（km/h），逆流的速度VB→A==20（km/ h），進而求出靜水中的速度25 km/h和水流速度5 km/h.

在大家解答問題（2）的過程中發現，有三種不同的解決策略，供大家交流.

方法1：函數解析法

【思路分析】利用題目給定的函數信息，將AC=x轉化成函數意義為客船從A駛向B離開A碼頭x km，客船從B返回A還距離A碼頭x km，GH表示客船在往返A、B兩碼頭的過程中離A碼頭還有x km要用的時間，因而GH表示兩個時間的差，只需求出表示AD、DF兩條直線的解析式，當s=x后H與G兩點橫坐標的差即為y與x的函數關系式.

【解析】由題知：sAD=30t，sDF=-20t+150；

當s=x時，tG=，tH=；

溫馨提示：函數圖像的呈現使我們可以直接利用圖像信息（圖像上有具體數值的點坐標）求出函數解析式，根據函數解析式結合問題中的量的含義進行函數信息的轉化.利用函數解析式解決實際問題關鍵在于找到并理解圖像信息中的點的實際意義，正確與實際問題中的相關量進行轉化，利用函數解析式進行解答.這一方法培養了同學們的函數思想，在理解函數信息的基礎上巧妙與實際問題聯系，提升同學們的函數識圖能力，提高同學們解決函數問題的能力.

方法2：實際應用法

【思路分析】將本問題實際化，CH∥t軸，說明GH表示的是時間，將GH轉化成客船從離A碼頭x km的地方出發到B碼頭后返回到剛才的出發地所用的時間，而AB間的距離為90 km，出發地離A碼頭x km，故往返所行進的距離為90-x，利用時間的計算公式求出兩端的時間和就可.

【解析】由（1）已知順流的速度VA→B==30（km/h），逆流的速度VB→A==20（km/h）；

【溫馨提示】函數問題的背景是實際生活情境，將函數問題實際化，利用實際問題的處理思路和方法，抓住實際生活問題中的公式，用實際生活背景方式解決.同學們對于行程問題很是熟悉，根據水流問題中的順流、逆流公式及行程問題中的線段分析方法，同學們能較快正確地利用速度、時間與路程之間的關系表示出題中線段的含義，進行解決.這一方法培養了同學們實際問題的處理能力，提升了大家的互化技能，突出了函數信息實際問題解決策略的運用.

方法3：幾何圖形法

【思路分析】不受題目給定的函數圖像誘導，把題目條件看作為幾何圖形，由CH∥t得到三角形相似，利用相似三角形的性質得出比例列出關系式.

【解析】設CH交DE于P，則PE=AC= x，DP=90-x，∵CH∥t，∴△DGH∽△DAF，

【溫馨提示】將函數信息問題幾何圖形化，把函數圖像抽象成幾何圖形，抓住幾何圖形的性質得到關系式列出等式得出結論.函數圖像幾何圖形化是解決函數信息題的一種好方法，由于在函數圖像中會出現一些與坐標軸平行的線段，因而利用線段的關系可以轉化成幾何圖形中的全等、相似或直角三角形等相關知識加以解決.這一方法培養了大家的識圖能力，提升學生的圖形間互化的技能.

對于問題（3），同學們理解了問題（2）的三種不同的處理方法，運用實際應用法或函數圖像解析法就可解決，本文介紹函數解析法供參閱.

如圖建立坐標系，設客船、橡皮艇離開碼頭C的距離s（千米）與航行的時間t（小時）之間的函數關系如圖2所示.

圖2

SAB=-20t+100，SOC=5t，

由題知-20t+100=5t，t=4，

故S=5×4=20.

從上述兩例可以看出一次函數所描述的關系在生活中很多，利用一次函數可以更好地認識生活中一些事物的規律.筆者在進行生活數學問題的教學中發現很多同學在處理過程中只會解題，不會思考，不會類比，不會抓問題的關鍵，更不會主動提問，處理問題和靈活應變的能力都很薄弱.因而希望同學們在解答數學問題時要抓住問題的癥結，充分挖掘題目中的信息與數學知識的聯系，巧妙利用數學知識對實際生活中的問題進行轉化，構建數學模型進行有效解答，提升自己的綜合實力.

（作者單位：江蘇省無錫市陽山中學）