一次函數思想方法薈萃

金　岳

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一次函數思想方法薈萃

金岳

數學思想方法是對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，是在數學教學中提出問題、解決問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等.掌握數學思想方法，就是掌握數學的精髓.在數學課本中，到處都可以找到提煉出數學思想、數學方法的素材，本文以義務教育教科書八年級數學上冊（蘇科版）《一次函數》為例，談談所涉及的數學思想.

一、函數思想

例1小李從西安通過某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃，他了解到這個公司除收取每次6元包裝費外，櫻桃不超過1 kg收費22元，超過1 kg，則超出部分每千克加收10元費用，設該公司從西安到南昌寄櫻桃的費用為y（元），所寄櫻桃為x（kg）.

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）已知小李給外婆寄了2.5 kg櫻桃，請你求出這次寄快遞的費用是多少元.

【解析】本題考查了一次函數的應用，解題的關鍵是建函數模型，很多同學解答第一問時，常常忽視0＜x≤1的情況，導致出錯.

解：（1）根據快遞的費用=包裝費+運費，分兩種情況：0＜x≤1和x＞1，直接列出y與x的函數關系式.

當0＜x≤1時，y=22+6=28；

當x＞1時，y=28+10（x-1）=10x+18.

∴y與x的函數關系式為

（2）根據（1）求出的解析式，x=2.5＞1，因此代入相應的函數關系式就可以得出答案.

當x=2.5時，y=10×2.5+18=43，

∴小李這次寄快遞的費用是43元.

二、方程思想

例2甲、乙兩輛汽車分別從A，B兩地同時出發，沿同一條公路相向而行，乙車出發2 h后休息，與甲車相遇后，繼續行駛.設甲，乙兩車與B地的路程分別為y甲（km），y乙（km），甲車行駛的時間為x（h），y甲，y乙與x之間的函數圖像如圖2所示，結合圖像解答下列問題：

（1）乙車休息了多少小時；

（2）求乙車與甲車相遇后y乙與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當兩車相距40 km時，直接寫出x的值.

圖1

【解析】本題考查了一次函數的應用，解題的關鍵是準確讀取圖像信息，第（3）問是一次函數中典型的方程思想解決問題的案例，對于行程類的圖像信息題，要注意利用相遇、追及等類型構造方程求解.

（2）設y乙與x的函數解析式為y乙=kx+b，把（2.5，200）、（5，400）代入，得解得

∴y乙=80x（2.5≤x≤5）.

（3）相遇前：100x+80x+40=400，解得x=2；

相遇后：80x+200+80（x-2.5）=440，解得

三、分類討論思想

例3當kb＜0時，一次函數y=kx+b的圖像一定經過（）.

A.第一、三象限B.第一、四象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

【解析】本題考查了一次函數的圖像與性質，解題的關鍵是利用一次函數的圖像與性質進行分類討論，全面獲解.

（1）確定k、b的符號；

（2）根據k、b的符號確定一次函數y= kx+b的圖像所經過的象限.

解：已知kb＜0，則k與b異號，故存在兩種情形：k＞0且b＜0或k＜0且b＞0.當k＞0，且b＜0時，一次函數y=kx+b的圖像必過第一、三、四象限；當k＜0，且b＞0時，一次函數y=kx+b的圖像必過第一、二、四象限.

綜上可知，一次函數y=kx+b的圖像必過第一、四象限，故選擇B.

四、數形結合思想

例4如圖2，直線y=kx+b過A（-1，2）、B（-2，0）兩點，則0≤kx+b≤-2x的解集為___________.

【解析】本題考查了一次函數與不等式之間的關系，解題的關鍵是理解函數的圖像，利用數形結合的思想找到答案.

解：根據題意可知，直線y=-2x過點（-1，2），結合函數的圖像可知，0≤kx+b≤-2x所對應的自變量的取值范圍是-2≤x≤-1，故答案為-2≤x≤-1.

圖2

五、特殊到一般思想

例5如圖3，已知A1、A2…An、An+1是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1= 1，分別過點A1、A2…An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2…Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3…AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點P1、P2、P3…Pn，△A1B1P1、△A2B2P2…△AnBnPn的面積依次為S1、S2…Sn，則Sn為（）.

圖3

【解析】本題是探究規律試題，解決此類問題應先觀察圖形的變化趨勢，然后從第一個圖形進行分析，運用從特殊到一般的探索方式，分析歸納三角形面積變化中不變的規律，并用含有n的代數式進行表示，最后用代入法求出特殊情況下的數值.

解：A1坐標為（1，0），B1坐標為（1，2），A2坐標為（2，0），B2坐標為（2，4），通過A1、B2構造的直線為y1=4x-4，通過A2、B1構造的直線為y2=-2x+4，這兩條直線的交點坐標P1的坐標為，所以△A1B1P1的面積為△A2B1O-△A1B1O-△A1A2P1=；同理可求得第二個三角形的面積為；第三個三角形的面積為；……通過此規律可推出答案為.

六、建模思想

例6為了節省空間，家里的飯碗一般是摞起來存放的.如果6只飯碗摞起來的高度為15 cm，9只飯碗摞起來的高度為20 cm，那么11只飯碗摞起來的高度更接近（）.

A. 21 cmB. 22 cm

C. 23 cmD. 24 cm

【解析】本題考查了利用一次函數建模、應用，解題的關鍵是尋找恰當的數學模型來解決問題.設碗的個數x與碗摞起來的高度y厘米，滿足一次函數關系式y=kx+b （k，b是常數，且k≠0），根據所給條件，求出一次函數關系式，再求x=11時，函數y的近似值，比對選項，找出答案.

解：因為設碗的個數x與碗摞起來的高度y厘米，滿足一次函數關系式y=kx+b（k，b是常數，且k≠0），所以把x=6時，y=15，x=9時，y=20代入函數關系式，得

故選C.

例7如圖4，是一對變量滿足的函數關系的圖像.有下列3個不同的問題情境：

圖4

①小明騎車以400米/分鐘的速度勻速騎了5分鐘，在原地休息了4分鐘，然后以500米/分鐘的速度勻速騎回出發地，設時間為x分，離出發地的距離為y千米；

②有一個容積為6升的開口空桶，小亮以1.2升/分鐘的速度勻速向這個空桶注水，注5分鐘后停止，等4分鐘后，再以2升/分鐘的速度勻速倒空桶中的水，設時間為x分，桶內的水量為y升；

③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，動點P從點A出發，依次沿對角線AC、邊CD、邊DA運動至點A停止，設點P的運動路程為x，那么當點P與點A不重合時，y=S△ABP；當點P與點A重合時，y=0.

其中，符合圖中所示函數關系的問題情境的個數為（）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【解析】本題考查了函數圖像與問題情境的對應轉換問題，即將情景問題建立恰當模型，與已知函數模型相比較，抓住圖像的轉折點，正確識圖是解決問題的關鍵.

解：①根據情境知，前5分鐘應行駛了400×5=2 000（米），而圖像上反映的是6千米，所以不正確；

②根據情境知，前5分鐘注水1.2×5=6（升）；此時注滿，5～9分鐘時水的高度不變；9～12分鐘后，每分鐘倒出2升，3分鐘倒空，符合圖像；

圖5

圖6

圖7

以上介紹了6種一次函數中的常見數學思想方法，數學思想方法還有很多，限于篇幅，這里不全面展開，但需要注意的是，問題中方法并不一定是獨立存在，有時需要多種方法相結合才能解決問題.希望同學們平時多思多悟，總結方法，提煉思想，提升自身的數學素養.

（作者單位：江蘇省敔山灣實驗學校）