從一道中考題談起

馬育偉

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從一道中考題談起

馬育偉

一次函數作為初中數學的核心內容，在各級各類考試和中考中是必考的知識點.

例1（2014·江蘇鎮江）已知過點（2，-3）的直線y=ax+b（a≠0）不經過第一象限.設s=a+2b，則s的取值范圍是（）.

【考點分析】1.一次函數圖像與系數的關系；2.直線上點的坐標與方程的關系；3.不等式的性質.

解：∵過點（2，-3）的直線y=ax+b（a≠0）不經過第一象限，

由a＜0得到-3a＞0，從而-3a-6＞0-6=-6，即s＞-6，∴s的取值范圍是，故選B.

從本題的解答中，我們可以了解到在一次函數的學習中必須注意的幾點：

1.要牢固掌握一次函數及正比例函數的基本知識

例如正比例函數的圖像是經過原點的一條直線，當k＞0時，經過第一、三象限，y隨著x的增大而增大，當k＜0時，經過第二、四象限，y隨著x的增大而減小；而一次函數的圖像不一定經過原點，增減性與正比例函數一樣，圖像經過的象限除了由k的符號決定經過第一、三或第二、四象限，還由b的符號決定經過第一、二或第三、四象限.利用這些知識就可以解決如以下的中考題：

例2（2014·廣東汕尾）已知直線y=kx+ b，若k+b=-5，kb=6，那么該直線不經過（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

例3（2014·湖南婁底）一次函數y= kx-k（k＜0）的圖像大致是（）.

2.要理解直線上點的坐標與方程的關系

不管是正比例函數y=kx還是一次函數y=kx+b（k≠0）都可以看作是關于x與y的方程，其中k與b是字母參數，而函數圖像上的點的坐標（x，y）就是滿足方程的一對解，因此求正比例或一次函數的解析式必須知道一個點或兩個點的坐標.利用這些知識就可以解決如以下的中考題：

例4（2015·江蘇無錫）一次函數y=-2x+ 4的圖像與y軸的交點坐標是（）.

A.（0，4）B.（4，0）

C.（2，0）D.（0，2）

例5（2014·湖南邵陽）已知點M（1，a）和點N（2，b）是一次函數y=-2x+1圖像上的兩點，則a與b的大小關系是（）.

A. a＞bB. a=b

C. a＜bD.以上都不對

3.要理解函數關系式中k的幾何意義

例6（2014·福建莆田）如圖1放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3…都是邊長為2的等邊三角形，邊AO在y軸上，點B1，B2，B3…都在直線上，則A2014的坐標是________.

圖1

【分析】在本題中考到的是兩個知識點：等邊三角形和一次函數，注意到第一個等邊三角形的一邊與y軸重合，故輔助線的作法是延長A1B1，A2B2，…，AnBn，與x軸交于C1，C2，…，Cn.由邊長為2的等邊三角形，得到OB1，OB2，…，OBn的長度分別為2，4，…，2n，由直線得到，可得到與x軸的夾角為30°，利用30°的直角三角形的三邊關系可以得到B1C1=1，B2C2=2，…，BnCn=n；，，…，從而得到，那么A2014的坐標是(20142016）.

4.注重與其他知識的結合使用，如一次方程、一次不等式，注重數學的建模

例7（2014·四川內江）某汽車銷售公司經銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降.今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元.

（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？

（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？

（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？

經檢驗，m=9是原方程的根且符合題意.

答：今年5月份A款汽車每輛售價9萬元.

（2）設購進A款汽車x輛.

則：99≤7.5x+6（15-x）≤105，且0≤x≤15，

解得：6≤x≤10.

∴x的正整數解為6，7，8，9，10.

∴共有5種進貨方案.

（3）本題如果不用一次函數就要經過5次計算并比較代數式大小后才能得出.而設獲利W元，則可得：

W=（9-7.5）x+（8-6-a）（15-x）=（a-0.5）x+ 30-15a故當a=0.5時，（2）中的所有方案獲利相同.

此時購買A款汽車3輛，B款汽車12輛時對公司更有利.

例8（2014年·貴州黔東南）在如圖2所示的平面直角坐標系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點，則PA+PB的最小值為________.

圖2

本考題就是結合軸對稱（最短路線）的一道考題.注意到直線y=x是第一象限的角平分線，點A和B的對稱點在y軸上，坐標為（0，1）和（0，2），利用最短距離只需求（1，0）與（0，2）或（2，0）與（0，1）的距離即可.

總之，在學習一次函數的過程中，必須牢牢掌握一次函數的基本知識和基本性質，注意一次函數在平面直角坐標系中點的坐標與函數解析式的關系，必掌握一次函數中k與b的實際意義.

（作者單位：江蘇省無錫市碩放中學）