3類高斯光束的圓孔衍射特性

韓振海

(河西學院 物理與機電工程學院，甘肅 張掖 734000)

3類高斯光束的圓孔衍射特性

韓振海

(河西學院 物理與機電工程學院，甘肅 張掖 734000)

摘要：利用標量衍射理論，將空心高斯光束、貝塞爾高斯光束、平頂高斯光束3類高斯光束的圓孔衍射場進行傅里葉變換，并運用D-FFT算法對其圓孔衍射特性進行了數值計算，得到了衍射場中軸向和徑向的光強分布特點，分析了光學參量對衍射結果的影響. 分析結果表明：衍射特性與衍射距離、光束的階數、圓孔束腰半徑比等因素有關.

關鍵詞：空心高斯光束；貝塞爾高斯光束；平頂高斯光束；圓形光闌；衍射；傅里葉變換

1理論描述

圓孔的透過率可用圓域函數表示為

(1)

式中R0表示圓孔半徑. 為簡單計算，將圓孔面置于以下3類高斯光束的束腰處(z=0).

1.13類高斯光束的模型

1)空心高斯光束

空心高斯光束在z=0處的光場分布為

(2)

式中:A0=E0(0,0)，ω0表示束腰半徑，n表示空心高斯光束的階數. 圖1給出了空心高斯光束在束腰處的徑向光強分布. 空心高斯光束在圓孔后表面上的光場分布為

(3)

(a)

(b)圖1　空心高斯光束在束腰處的徑向光強

2)貝塞爾高斯光束

貝塞爾高斯光束在z=0處的光場分布為

(4)

式中：J0(αr0)為第一類零階貝塞爾函數，α表示橫向波數. 圖2給出了空心高斯光束在束腰處的徑向光強分布. 貝塞爾高斯光束在圓孔后表面上的光場分布為

(5)

(a)

(b)圖2　貝塞爾高斯光束在束腰處的徑向光強

3)平頂高斯光束

平頂高斯光束在z=0處的光場分布為

E0(r0,0)=

m=0,1,2,…,

(6)

式中M表示平頂高斯光束的階數(M=0,1,2,…). 圖3給出了平頂高斯光束在束腰處的徑向光強分布. 平頂高斯光束在圓孔后表面上的復振幅分布為

(a)

(b)圖3　平頂高斯光束在束腰處的徑向光強

1.23類高斯光束通過圓孔的衍射場計算

(8)

式中z表示觀察面和入射面之間的距離.

將(8)式積分號內關于x和y的復相位因子作配方處理并作變量代換xa=Ax0，ya=Ay0，可得到

(9)

利用(9)式，可將(8)式寫為卷積形式

(10)

式中*表示卷積運算. 以fx和fy表示頻率域坐標，可得到

(11)

式中F{ }表示傅里葉變換. 利用卷積定理可將(10)式表示為

U(x,y,z)=exp (jkz)·

(12)

式中F-1{ }表示傅里葉逆變換. 這樣利用2次傅里葉變換并借助于D-FFT算法[10]，就可求出高斯光束通過圓孔后在空間傳輸的衍射場分布.

2數值計算結果與分析

數值計算[11-12]中衍射面大小為10 mm×10 mm，衍射面上抽樣點數取512×512，激光波長為632.8 nm，束腰半徑ω0=1 mm.

2.1空心高斯光束圓孔衍射特性的計算

位于衍射面中央的圓孔半徑R0=2 mm. 圖4是在空心高斯光束的階數n=3，其他參量不變時，不同衍射距離處軸上的光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，當傳輸距離較小(z<500 mm)時，軸上光強為零；隨著衍射距離的增大，軸上光強逐漸增大，在z≈4 000 mm處軸上光強達到極大值；進一步增大衍射距離，軸上光強隨之減小，但在該范圍內有一定的起伏變化. 圖5是在空心高斯光束的階數n=3，其他參量不變時，不同衍射距離處接收面上的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，近距離范圍內(z<500 mm)接收面上的光強與空心高斯光束束腰處的分布相似，中心為暗斑；隨著衍射距離的增大，中心逐漸有光能量聚集，在中心亮斑之外有暗、亮環交替出現，衍射效應明顯，且亮環內的光強隨半徑也成高斯型分布；在z≈4 000 mm處中心亮斑的光強達到極大值；之后增大衍射距離，中心亮斑的強度下降，半徑增大，衍射調制作用有所減弱.

圖4　不同衍射距離處軸上的光強分布

圖5　不同衍射距離處接收面上的光強分布

圖6是在其他參量不變時，不同階數n的空心高斯光束在z=500 mm處的接收面上產生的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，階數n較小時，中心暗斑的半徑、亮環的半徑均較小，n較大時，中心暗斑的半徑、亮環的半徑也較大，空心性越好；但亮環的寬度和光強則基本一致，沒有隨階數發生明顯的變化. 圖7是在空心高斯光束的階數n=5，改變圓孔大小(在束腰不變的條件下，亦即改變圓孔與束腰半徑比)，而其他參量不變時，空心高斯光束在傳輸距離z=1 000 mm處的接收面上產生的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，圓孔與束腰半徑比對中心亮斑的大小沒有明顯影響(中心亮斑的寬度基本相同)；但半徑比越大，中心亮斑的強度就越小，中心亮斑外圍的亮環數也減少，衍射調制作用減弱.

圖6　不同階數對光強分布的影響

圖7　不同圓孔束腰半徑比對接收面上光強的影響

2.2貝塞爾高斯光束圓孔衍射特性的計算

位于衍射面中央的圓孔半徑R0=2 mm. 圖8是在貝塞爾高斯光束的徑向波數α=5，其他參量不變時，不同衍射距離處軸上的光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，當傳輸距離較小(z<400 mm)時，軸上光強值很大；當增大衍射距離(z>400 mm)時，軸上光強急劇減小，并在該范圍內沒有出現較大的起伏變化. 圖9是在橫向波數α=5，其他參量不變時，不同衍射距離處接收面上的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，近距離范圍內(z<100 mm)接收面上的中心亮斑之外有暗、亮環交替出現，呈現出一定的衍射效應；但當衍射距離增大后，中心亮斑光強分布變得比近距離時平滑，同時衍射效應非常微弱.

圖8　不同衍射距離處軸上的光強分布

圖9　不同衍射距離處接收面上的光強分布

圖10是在其他參量不變時，不同橫向波數α的貝塞爾高斯光束在z=300 mm處的接收面上產生的光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，橫向波數α對中心亮斑的寬度沒有明顯影響，只是α較大時，中心亮斑的光強有所減小. 圖11是在橫向波數α=5，改變圓孔大小(改變圓孔與束腰半徑比)，而其他參量不變時，貝塞爾高斯光束在z=300 mm處的接收面上產生的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，圓孔與束腰半徑比對中心亮斑的大小沒有明顯影響(中心亮斑的寬度基本相同)；但半徑比越大，中心亮斑的強度就越小.

圖10　不同階數對光強分布的影響

圖11　不同圓孔束腰半徑比對接收面上光強的影響

2.3平頂高斯光束圓孔衍射特性的計算

位于衍射面中央的圓孔半徑依然取R0=2 mm. 圖12是在平頂高斯光束的階數M=3，其他參量不變時，不同衍射距離處軸上的光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，隨著衍射距離從零開始增大，軸上光強也從零開始逐漸增大，在z≈1 800 mm處軸上光強達到極大值；進一步增大衍射距離，軸上光強隨之減小，但在該范圍內沒有像前述空心高斯光束那樣出現較明顯的光強起伏變化. 圖13是在平頂高斯光束的階數M=3，其他參量不變時，不同衍射距離處接收面上的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，近距離范圍內接收面上的光強與平頂高斯光束束腰處的分布相似，中心為暗斑；隨著衍射距離的增大，中心逐漸有光能量聚集，且在中心亮斑之外有較微弱的亮、暗環交替出現；之后增大衍射距離，中心亮斑的強度下降，半徑增大. 值得注意的是，平頂高斯光束在整個衍射距離范圍內并沒有表現出像空心高斯光束那樣明顯的衍射調制效應.

圖12　不同衍射距離處軸上的光強分布

圖13　不同衍射距離處接收面上的光強分布

圖14是在其他參量不變時，不同階數M的空心高斯光束在z=1 000 mm處的接收面上產生的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，階數M對中心亮斑的半徑和寬度沒有產生明顯的影響，但是階數越大，旁瓣數越少，光強的徑向變化越加平滑，衍射效應越不明顯. 圖15是在平頂高斯光束的階數M=5，改變圓孔大小(改變圓孔與束腰半徑比)，而其他參量不變時，平頂高斯光束在z=1 000 mm處的接收面上產生的徑向光強分布. 從計算結果可以看到，在選取以上實驗參量的條件下，圓孔與束腰半徑比對中心亮斑的大小沒有明顯影響(中心亮斑的寬度基本相同)；當R0/ω0=0.8時，中心亮斑的強度較大，外圍有強度的交替性變化，呈現出一定的衍射效應；當R0/ω0≥1.1時，中心亮斑的強度較小，外圍的強度交替變化減弱，衍射效應不明顯.

圖14　不同階數對光強分布的影響

圖15　不同圓孔束腰半徑比對接收面上光強的影響

對比以上計算結果，可以看出：

1)在軸上的縱向光強分布中，空心高斯光束和平頂高斯光束表現出基本相同的變化規律(在特定距離處光強達到最大，而在較近距離和較遠距離處光強則較小)，只是在遠場前者的強度起伏更強烈；而貝塞爾高斯光束僅當傳輸距離很小時，軸上光強值很大，而當增大衍射距離時，軸上光強便急劇衰減.

2)在衍射場的徑向光強分布中，空心高斯光束和平頂高斯光束中心亮斑都隨著衍射距離的增大而增大，能量逐漸向徑向延展，前者在較近距離處還表現出明顯的衍射效應，后者則不甚明顯；而貝塞爾高斯光束的衍射光能量則高度聚集在中央軸線處.

3)階數影響空心高斯光束中心暗斑的半徑、亮環的的半徑，但對亮環的寬度和光強沒有產生明顯影響；橫向波數只對貝塞爾高斯光束中心亮斑的光強有所影響，而對其寬度則沒有明顯影響；階數對平頂高斯光束中心亮斑的旁瓣數以及光強變化的平滑度產生影響.

4)圓孔與束腰半徑比對空心高斯光束中心亮斑的強度及其旁瓣數、衍射調制結果都有明顯的影響；對貝塞爾高斯光束只影響中心亮斑的強度；對平頂高斯光束的衍射調制結果有一定的影響.

3結束語

3類高斯光束的圓孔衍射具有各自不同的特性. 在空心高斯光束的圓孔衍射中，縱向和徑向的光強與衍射距離密切相關，且階數和圓孔束腰半徑比對衍射結果產生明顯影響，階數越高，衍射效應越不明顯；貝塞爾高斯光束的橫向波數和圓孔束腰半徑比對衍射結果無明顯影響，衍射效應微弱，光能量高度聚集在中央軸線處，呈現出“聚焦”效應；階數和圓孔束腰半徑比對平頂高斯光束衍射結果產生一定的影響. 這些特點對于進一步研究各類高斯光束有一定的理論和實踐價值，也有利于高斯光束在光學工程中的實際應用.

參考文獻：

[1]張蕾,蔡陽健,陸璇輝. 一種新空心光束的理論及實驗研究[J]. 物理學報, 2004,53(6):1777-1781.

[2]Bagini V, Borghi R, Gori F, et al. Propagation of axially symmetric flattened Gaussian beams [J]. J. Opt. Soc. Am. A, 1996,13(7):1385-1394.

[3]Liu Y X, Ge W G, Lv B D. Diffraction characteristics of Bessel-Gauss beams limited by apertures [J]. Opto-Electronic Engineering, 2005,32(12):17-20.

[4]Tang B, Jiang S B, Jiang C, et al. Propagation properties of hollow sinh-Gaussian beams through Fractional Fourier transform optical systems[J]. Optics & Laser Technology, 2012,20(9):9682-9691.

[5]Sun Q G, Zhou K Y, Fang G Y, et al. Hollow sinh-Gaussian beams and their paraxial properties [J]. Optics Express, 2014,59(4):116-122.

[6]黃慧琴，趙承良，陸璇輝. 空心光束的研究進展[J]. 激光與紅外，2007，37(4)：300-303.

[7]Wu G H, Guo H, Deng D M. Paraxial propagation of partially coherent flat-topped beam[J]. Opt. Commun., 2006,260(2):687-690.

[8]F Gori, M Santarsiero. Twisted Gaussian schell-model beams as series of partially coherent modified Bessel-Gauss beams [J]. Optics Letters, 2015,40(7):1587-1590.

[9]Zhang Z M, Pu J X, Wang X Q. Focusing of partially coherent Bessel-Gaussian beams through a high-numerical-aperture objective [J]. Optics Letters, 2008,33(1):49-51.

[10]李俊昌. 衍射計算及數字全息[M]. 北京：科學出版社，2014.

[11]Voelz D G. Computational Fourier optics [M]. Washington： SPIE Press， 2010.

[12]國承山，李傳濤，洪正平，等. 光衍射數值模擬中不同抽樣方法的適用性分析[J]. 光學學報，2008，28(3)：442-446.

[責任編輯：尹冬梅]

Study on the circular aperture diffraction characteristics of several kinds of Gaussian beams

HAN Zhen-hai

(School of Physics and Mechanical & Electrical Engineering, Hexi University, Zhangye 734000, China)

Abstract:By using scalar diffraction theory, the diffraction field of hollow Gaussian beams, Bessel Gaussian beams, and flattened Gaussian beams through a circular aperture were expressed in the form of Fourier transform. The D-FFT algorithm was used to calculate the diffraction characteristics, and the intensity distribution in the longitudinal and transverse directions in the diffraction field were obtained. The influence of some optical parameters on the diffraction was analyzed. The results showed that the diffraction characteristics were related to the diffraction distance, beam order, and the ratio of hole radius and waist radius.

Key words:hollow Gaussian beams; Bessel Gaussian beams; flattened Gaussian beams; circular aperture; diffraction; Fourier transform

收稿日期：2016-03-01；修改日期：2016-04-13

作者簡介：韓振海(1971-)，男，甘肅古浪人，河西學院物理與機電工程學院副教授,碩士，主要從事信息光學方面的教學研究工作.

中圖分類號：O436.1

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)06-0012-07