利用多普勒效應實驗儀器研究垂直簡諧振動測量方法的改進

曹　勇，李　偉，雍志華，李　娟，于白茹，梁小沖

(四川大學 a.電氣信息學院; b.物理科學與技術學院,四川 成都 610065)

利用多普勒效應實驗儀器研究垂直簡諧振動測量方法的改進

曹勇a，李偉b，雍志華b，李娟b，于白茹b，梁小沖b

(四川大學 a.電氣信息學院; b.物理科學與技術學院,四川 成都 610065)

摘要：利用多普勒效應實驗儀器測量垂直簡諧振動的周期和頻率實驗中，對傳統測量方法進行了改進，測量接收器懸掛彈簧后再加掛砝碼時的彈簧的伸長量. 采用2種方法進行實驗，測量結果表明改進后的方法誤差更小、更精確.

關鍵詞：簡諧振動；多普勒效應；周期

物理實驗是最基本的實驗訓練，物理實驗教學理應成為培養學生們創新能力的重要環節，注重培養學生科研能力，有利于學生的開拓精神和創新能力的培養[1-2]，在全國多所高校中，多普勒效應綜合實驗作為基礎實驗面向全校開放，在實驗儀器上可完成的實驗有多普勒效應的驗證、超聲波聲速的測量、研究變速直線運動以及研究簡諧振動. 傳統的測量簡諧振動的方法一被大多數高校的實驗教材采用，如北京大學、國防工業大學、四川大學[3-6]. 該方法理論上是正確的，但按實驗所得數據計算，誤差較大. 通過查閱資料、實驗驗證，對原有的測量方法進行改進可有效減小實驗誤差，并分析誤差產生的原因.

1垂直簡諧振動的測量原理

當質量為m的物體受到大小與位移成正比、而方向指向平衡位置的力的作用時，若以物體的運動方向為y軸，則其運動方程為

(1)

由上式描述的運動稱為簡諧振動[7].

將質量為m物體系于彈簧下端，使彈簧伸長. 設彈簧伸長了Δy， 由胡克定律可知，固體材料受力后將發生彈性形變，在固體的彈性限度內，材料中的應力與應變(單位變形量)之間成線性關系[8]. 本實驗中，彈簧彈力的大小和彈簧伸長(或縮短)的長度可簡單表示為如下的線性關系

mg=kΔy,

(2)

式中k是彈簧的彈性系數. 如果給彈簧一向下的瞬時沖擊力，它將作垂直簡諧振動. 以物體的運動方向為y軸，其運動方程為

(3)

由(2)和(3)式得

(4)

取y′=y-Δy，則(4)式變為

(5)

由(5)式可知，振動的角頻率仍滿足

(6)

利用多普勒效應實驗儀研究簡諧振動的測量裝置如圖1所示. 將超聲波接收器掛于彈簧上，令其上下振動，當系統在平衡位置附近振動時，記錄其振動速度. 實驗時，取采樣間距T′=100 ms，采樣點總數150. 利用多普勒效應實驗儀記錄第1次到第150次的速度. 則簡諧振動的周期T可表示為

(7)

式中，N1max和N11max分別為第1次速度達到最大值(或最小值)時的采樣次數和第11次速度達到最大值(或最小值)時的采樣次數. 將數據代入

(8)

由此計算出簡諧振動的角頻率.

圖1　多普勒效應研究簡諧振動測量裝置圖

2研究簡諧振動2種方法比較

2.1傳統測量方法

2.2改進后的測量方法

測量接收器質量m1和砝碼質量m2，測量接收器懸掛彈簧后彈簧的長度x，加掛砝碼，測量加掛砝碼后彈簧的伸長量x′，計算Δx=x′-x(如圖2). 將砝碼質量m2和Δx代入改進后式(2)求得k，再將k和接收器質量m1代入式(6)可得ω0. 取下砝碼，讓接收器多普勒效應綜合實驗裝置上做垂直簡諧振動，記錄N1max和N11max，利用式(7)和(8)可算出角頻率ω.

圖2　2種測量方法中用到的物理量

3實驗結果分析

按照傳統測量方法進行實驗，所得角頻率的實驗測量結果如表1所示，其中T′=100 ms,g=9.792 2 m/s2，其測量結果與計算值的相對偏差較大，約為10%. 采用改進后的方法所得測量結果如表2所示，測量結果與計算值的相對偏差較小，小于1%.

2種測量方法在利用多普勒效應實驗儀器測量簡諧振動周期過程完全相同，實驗所得周期也大致相同. 2種測量方法共同的實驗誤差來源有：1)實驗時的空氣對流，空氣對流會導致物體在做垂直簡諧振動的過程中受到非垂直方向上力的作用，導致物體做圓錐擺運動，從而改變物體的運動周期；2)測量過程中的室溫變化，會導致超聲波發生器與接收器之間的介質發生改變，影響聲波的傳播速度，從而產生實驗誤差；3)信號接收裝置是否良好.

表1　傳統方法研究簡諧振動的相關物理量

表2　改進后的方法研究簡諧振動的相關物理量

2種測量方法的主要差異在于計算角頻率時彈簧伸長量的選取不同. 傳統方法是直接測量接收器懸掛上彈簧后測量彈簧的伸長量，默認為彈簧伸長量從0開始滿足胡克定律. 而改進后的方法是測量接收器懸掛上彈簧后再加掛質量為m的砝碼時的伸長量，得出其彈性系數.

因此，為探究實驗中所用彈簧對實驗結果的影響，作如下實驗.

將實驗所用彈簧懸掛在多普勒實驗儀上，分別加掛不同質量的砝碼并測量彈簧的伸長量，得出彈簧伸長量隨砝碼質量增加的變化規律. 實驗數據如表3所示. 由表3中數據作兩者的變化圖線如圖3所示. 由于實驗條件限制，未測出加掛砝碼大于250 g時彈簧的伸長量.

表3　增加不同質量砝碼后彈簧伸長量

在計算彈簧的彈性系數時，利用式(3)計算的結果是彈簧單位伸長量所對應的砝碼質量的改變量. 而圖3表明，彈簧伸長量從零開始的一段區間內彈簧上加掛砝碼的質量與彈簧的伸長量不滿足線性關系；當彈簧的拉力達到一定值之后，彈簧加掛砝碼的質量與彈簧的伸長量才呈線性關系，即符合胡克定律. 本實驗中，傳統方法直接測量彈簧從零開始的伸長量，包括了彈簧伸長量非線性增長區間，因此角頻率的計算結果誤差較大；改進后的方法，由于接收器質量與所加砝碼質量之和均在彈簧伸長量的線性增長區間內，彈簧單位伸長量與所加砝碼質量成正比，計算出的彈性系數更準確，因此改進后方法的偏差較小.

圖3　彈簧伸長量隨砝碼質量增加的變化曲線

因此，采用改進后的測量方法可明顯減小實驗誤差，得出較為準確的實驗數據和結論.

參考文獻：

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[責任編輯：郭偉]

Comparison of two methods of researching vertical harmonic vibration by instrument of Doppler effects

CAO Yong1, LI Wei2， YONG Zhi-hua2， LI Juan2， YU Bai-ru2， LIANG Xiao-chong2

(1.School of Electrical Engineering and Information； 2.College of Physical Science and Technology,Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Abstract:Vertical harmonic vibration was researched, its period and frequency were measured by the Doppler effect experiment instrument. The traditional method was improved by measuring the change in the length of the spring hung on the receiver with the increasement of weight. By analyzing two sets of data, it concluded that adopting the second method could come to a more accurate conclusion. The sources of error of the first method was also analyzed.

Key words:vertical harmonic vibration; Doppler effect; period

收稿日期：2015-09-01；修改日期：2015-10-19

作者簡介：曹勇(1996-)，男，四川內江人，四川大學電氣信息學院2014級本科生.

通訊作者：李偉(1986-)，女，四川內江人，四川大學物理科學與技術學院實驗師，碩士，從事基礎物理實驗教學教輔工作.

中圖分類號：O321

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)06-0036-04