靈活應用不等式的性質解題

□黃細把

靈活應用不等式的性質解題

□黃細把

不等式的三個重要性質是對不等式變形的重要依據，更是今后學習不等式的基礎，其應用極其廣泛，現舉例說明.

一、化簡問題

例1已知3＜x＜7，化簡|x-3|+|x-7|=____.

分析：要將原式化簡，關鍵在于確定x-3和x-7的取值，看它們是大于零還是小于零.

解：由3＜x＜7，得x-3＞0，x-7＜0.故原式=（x-3）+（7-x）=4.

二、求值問題

例2設a、b都是正整數，且71a+600b=2013，則a+b的值為.分析：用b的代數式表示a，然后根據a、b都是正整數，先確定b的值，再求滿足條件的a的值.

三、比較大小問題

分析：比較兩個整式大小常用的方法是求這兩個整式的差值，再結合已知條件確定這個差值是否大于零.

解：先分別比較M與N的大小，M與P的大小，N與P的大小.因為a-1＞0，所以.所以M＞N.同理，由，得M＞P；由，得N＜P.所以M、N、P的大小關系為M＞P＞N.

四、方程的解問題

例4方程5x+y=20的正整數解有（）.

A. 2組B. 3組C. 4組D. 5組

分析：先用含x的代數式來表示y，然后根據y為正整數來確定x的取值范圍，繼而求出x和y的值.

解：由5x+y=20，得y=20-5x.因為y＞0，所以20-5x＞0，得x＜4.所以x可取1，2，3，相應地y取15，10，5.所以已知方程的正整數解有3組，應選B.

五、取值范圍問題

例5若x+y+z=30，3x+y-z=50，且x、y、z均為非負數，則M=5x+ 4y+2z的取值范圍是（）.

A. 100≤M≤110B. 110≤M≤120

C. 120≤M≤130D. 130≤M≤140

分析：將已知兩等式相加，可消去z，這樣能用含x的代數式分別表示y、z和M.再通過求x的取值范圍，進而求出M的取值范圍.

解：將已知兩等式相加，得4x+2y=80，從而y=40-2x.因為x+y+ z=30，所以z=30-x-y=x-10.所以M=5x+4（40-2x）+2（x-10）=140-x.因為x≥0，y≥0，z≥0，所以x≥0，40-2x≥0，x-10≥0.所以10≤x≤20，-20≤-x≤-10.所以140-20≤140-x≤140-10，即120≤M≤130，應選C.

六、最值問題

例6已知y=|x-b|+|x-20|+|x-b-20|，其中0＜b＜20，b≤x≤20，那么y的最小值為____.

分析：先確定x-b、x-20、x-b-20的取值.將y化簡后，再求最小值.

解：由已知得b≤x≤20，x＜b+20.所以x-b≥0，x-20≤0，x-b-20＜0.所以y=（x-b）+（20-x）+（b+20-x）=40-x.因為b≤x≤20，所以x的最大值是20.所以y的最小值等于40-20，即為20.