設而不求巧解題

□朱元生

設而不求巧解題

□朱元生

有一些需要列方程（組）解決的應用題若按常規方法設直接未知數，則不易理清數量之間的關系，難以列出方程.那該如何解決呢？我們可以根據具體問題，設間接未知數，設而不求，可使問題化難為易.

例1甲、乙、丙3位同學共解100道數學題，每人都解出了其中的60道，將其中只有1人能解出的題叫難題，2人能解出的題叫中等題，3人都能解出的題叫容易題，試求難題比容易題多幾道？

分析：本題若直接設“難題比容易題多x道”，難以理順數量間的關系，列方程求解比較困難，而設間接未知數即設3種題的道數，可使問題迎刃而解.

解：設有難題x道，中等題y道，容易題z道.

根據題意，

題中只要求求出難題比容易題多幾道，所以我們無需將3個未知數均解出來，只要求出x-z的值即可.

由①×2-②，

得x-z=200-180=20.

答：難題比容易題多20道.

例2有甲、乙、丙3種商品，若購甲3件、乙2件、丙1件共需315元；若購甲1件、乙2件、丙3件共需285元，那么購甲、乙、丙3種商品各一件，共需多少元？

分析：由于已知購3種商品的數量和所需錢數，若直接設“購甲、乙、丙3種商品各一件共需x元”，則難以求出甲、乙、丙3種商品的單價，而設間接未知數即設3種商品的單價，可使問題順利獲解.

解：設購甲、乙、丙3種商品各一件時，分別需x元、y元、z元，根據題意，得

題中只要求求出3種商品各一件共需多少元錢，所以我們無需將3個未知數均解出來，只要求出x+ y+z的值即可.

①+②，得4（x+y+z）=600，

所以x+y+z=150.

答：購甲、乙、丙3種商品各一件共需150元錢.

例3小明在一城市的環城公路上行走，他發現每隔4分鐘就有一輛公共汽車迎面相遇，每隔12分鐘就有一輛公共汽車從背后越過，假設小明與汽車均為勻速運動，試問：汽車站每隔幾分鐘發一趟車？

分析：如果只設“汽車站每隔x分鐘發一趟車”，那么既不知道人和車的速度，也不知道相應的距離，難以列出方程.由于小明與迎面來車相遇可視為行程問題中的相遇問題，而背后有車越過就是追及問題，故設小明和車的速度以及兩輛車之間的距離為未知數可使問題巧妙獲解.

解：設公共汽車的速度為x米/分，小明的步行速度為y米/分，同一車站發出的相鄰兩輛汽車相隔m米.

根據題意，列方程組

題中只要求求出汽車站每隔幾分鐘發一趟車，所以我們無需將三個未知數均解出來，只要求出的值即可.

由①+②×3得24x=4m，

答：汽車站每隔6分鐘發一趟車.

現實生活中的問題是千變萬化的，學習了方程（組）的知識，就如同掌握了一件法寶，可以解決很多以前我們無法解決的問題.同學們，今后我們可以掌握和收納的法寶還有很多，只要你努力學習，你的法寶就會越來越強大.