試析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生推理能力的培養(yǎng)

周艷

數(shù)學(xué)家波利亞說過：“數(shù)學(xué)可以看作是一門證明的科學(xué)，但這只是一個(gè)方面，完成了數(shù)學(xué)理論，用最終形式表示出來，像是僅僅由證明構(gòu)成的純粹證明性?！彪S著教育改革的全面推進(jìn)，新教材糾正了舊教材那種過分強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及渲染邏輯推理的重要性，而是提出了新的觀點(diǎn)“合理推理”是新教材的一大特色。推理能力包括合情推理能力和演繹推理能力，合情推理是數(shù)學(xué)家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。歸納推理（這里指不完全歸納）是特殊到一般的推理，而類比推理則是由兩個(gè)或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它在另一屬性上也相同或相似的一種推理。本文就新形勢下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生推理能力的培養(yǎng)做了探索。

一、歸納推理

歸納推理是從特殊到一般的推理，是一種很常用的合情推理。具體過程：歸納（不完全）——猜想——完全歸納（數(shù)學(xué)歸納法證明）。在合情推理中的歸納推理卻是針對無限個(gè)研究對象和無限種特殊情況，人們不可能窮盡所有的特殊情況，而只能通過有限種特殊情況的觀察預(yù)測或猜測一般情況下的一般結(jié)論。

我在教學(xué)完全平方公式時(shí)，通過觀察容易得到：（a+b）2=a2+2ab+b2再應(yīng)用多項(xiàng)式的乘法法則來驗(yàn)證（a+b）2=a2+2ab+b2的正確性，再經(jīng)過觀察思考、課件演示再次驗(yàn)證公式，從而歸納出完全平方和公式。將猜想變?yōu)楣剑缓笥^察并熟記公式特征。在整個(gè)過程中老師只是在提出問題和引導(dǎo)學(xué)生解決問題，學(xué)生的自主性得到了充分的體現(xiàn)，課堂氣氛平等融洽。

在平時(shí)的教學(xué)中，例如，研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，首先讓學(xué)生做出圖象，通過觀察、探索、猜想、驗(yàn)證、歸納的教學(xué)，從而提高學(xué)生的合情推理能力。通過觀察或?qū)嶋H操作獲得感性材料，再將這些感性材料進(jìn)行整理，找出共同的特征，逐步抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力。

二、類比推理

類比推理是一種橫向思維，它通過對兩個(gè)類似系統(tǒng)的研究，由一個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)猜測另外一個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)。

在教學(xué)中，我們類比分?jǐn)?shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)，類比等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)，類比研究一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有意識地加強(qiáng)學(xué)生的類比推理能力的培養(yǎng)，對于新的數(shù)學(xué)體系的學(xué)習(xí)和深入研究，對于預(yù)測和猜想某些新的結(jié)果，以及對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，都是非常重要的。要培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力要做到以下三個(gè)方面：

首先，要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，這是我們進(jìn)行演繹推理必須具備的要素。就數(shù)學(xué)來講，要熟練掌握書本知識，要熟練到隨口而出的地步。

其次，要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。讓學(xué)生掌握推理的基本方法和基本步驟，在此基礎(chǔ)上逐步引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握演繹推理。

再次，就是通過具有代表性和典型性的例題讓學(xué)生自己動(dòng)手，讓他們熟練掌握演繹推理的步驟和上下連貫性。

在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，學(xué)生獲得了概念、性質(zhì)時(shí)，讓學(xué)生掌握概念、熟練性質(zhì)，并應(yīng)用此進(jìn)行計(jì)算和證明。要注意學(xué)生語言表達(dá)的準(zhǔn)確性、嚴(yán)謹(jǐn)性。

在歷年中考中出現(xiàn)的題，都是讓學(xué)生以合情推理做出猜想，以演繹推理做出計(jì)算或證明的過程，以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。推理能力的培養(yǎng)“應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”。

三、在新知識形成的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷合情推理——演繹推理的過程。合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理。“合情推理”的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。由合情推理得到的猜想常常需要證實(shí)，這就要通過演繹推理給出證明或舉出反例。

我們注意了合情推理和邏輯推理的相互結(jié)合，在結(jié)論的探索過程中，采用了合情推理，而結(jié)論的證明則采用了邏輯推理。

四、在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程之中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

能力的發(fā)展絕不等同于知識與技能的獲得。能力的形成是一個(gè)緩慢的過程，有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律，它不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考的方法等。這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能得以進(jìn)行，因而教學(xué)活動(dòng)必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程”，并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在這樣的“過程”之中。教師在引導(dǎo)學(xué)生思考的過程中，學(xué)生從對具體的算式中的觀察、比較中，通過合情推理（歸納）提出猜想，進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號表達(dá)——若a×a=m，則（a-1）（a+1）=m-1，然而用多項(xiàng)式的乘法法則證明是正確的。

總之，我們要在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，著力培養(yǎng)和提高學(xué)生的推理能力。按照課程的要求，培養(yǎng)學(xué)生“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他人交流的過程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論和疑”。由于數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)，它是發(fā)展推理能力的最好學(xué)科。數(shù)學(xué)推理能力則是數(shù)學(xué)能力發(fā)展水平的重要標(biāo)準(zhǔn)。因此，在教學(xué)中，必須充分挖掘教材中有利于發(fā)展學(xué)生推理能力的潛在因素，根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有意識地給學(xué)生提供推理的機(jī)會，創(chuàng)造推理的良好氛圍，為學(xué)生推理思維的形成創(chuàng)造良好的條件。無論是在知識的形成過程中，還是在知識的應(yīng)用過程中都應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，只有持之以恒，必能使學(xué)生的推理能力得到提高。

（作者單位：山東省日照市北京路中學(xué)）