一個(gè)有關(guān)計(jì)數(shù)問題的探究案例

嚴(yán)洪剛

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）05-0154-02

1.背景介紹

新課標(biāo)的理念更突出了知識(shí)過程性目標(biāo)的重要地位，明確要求學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，學(xué)會(huì)與他人合作交流，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、學(xué)會(huì)體驗(yàn)成功的喜悅，這是我們課改教學(xué)的新動(dòng)向之一。

浙教版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材七年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)完第七章圖形的初步認(rèn)識(shí)（點(diǎn)與線）及角的內(nèi)容后，學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、角等基本的概念已有了一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生平常的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常出現(xiàn)一類計(jì)數(shù)問題，因此我認(rèn)為有必要安排一個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)這一類問題作一次探究，使學(xué)生對(duì)這一類問題有一個(gè)比較系統(tǒng)全面的理解。

2.情景描述

教學(xué)中，我開門見山："同學(xué)們，我們一起來(lái)看一類有關(guān)計(jì)數(shù)的問題，看看哪個(gè)同學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)。"見學(xué)生驚訝的表情，我順勢(shì)在黑板上畫下兩個(gè)圖形：

接著，我提出問題："請(qǐng)你們算一下，圖（一），圖（二）中各有多少條線段？"學(xué)生們很快的開始數(shù)了，有的同學(xué)已經(jīng)開口說了："圖（一）有3條，圖（二）有6條"。也有一些同學(xué)出現(xiàn)了遺漏的現(xiàn)象，圖（二）答案出現(xiàn)了5條或4條的。

"大家思考都比較積極，我們來(lái)想一下，在數(shù)線段時(shí)，如何數(shù)才能不重復(fù)、不遺漏呢？"

一學(xué)生站起來(lái)說："以A1為左邊端點(diǎn)的線段有A1A2，A1A3，A1A4，以A2為左邊端點(diǎn)的線段有A2A3，A2A4，以A3為左邊端點(diǎn)的線段有A3A4，所以一共有3+2+1=6條。"

"很好，這種方法的確不會(huì)重復(fù)，也不會(huì)遺漏，但是，若直線上有10個(gè)點(diǎn)時(shí)有多少條線段呢？"

受到剛才這位同學(xué)的啟發(fā)，同學(xué)們忙開了，我發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)同學(xué)都是一條一條地去數(shù)。看到這種情況，我乘機(jī)說："既然一條一條去數(shù)比較煩，那么有沒有巧妙的方法呢？比如線段的條數(shù)與點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間有沒有規(guī)律呢？如果我們能找到其中的規(guī)律的話，那我們不就省力氣嗎？各小組分組討論"

過了一會(huì)兒，有些小組迫不急待地開始舉手了，我走到她們的桌前，看到了她們寫的推理過程： 3個(gè)點(diǎn)時(shí)有：2+1=3條

4個(gè)點(diǎn)時(shí)有：3+2+1=6條

5個(gè)點(diǎn)時(shí)有： 4+3+2+1=10條

6個(gè)點(diǎn)時(shí)有： 5+4+3+2+1=15條 ……

10個(gè)點(diǎn)時(shí)有： 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45條

看來(lái)有些同學(xué)已經(jīng)找到了其中的規(guī)律了，但規(guī)律還沒有表示出來(lái)。

又有同學(xué)舉手了，我叫了其中一個(gè)同學(xué)回答：因?yàn)?個(gè)點(diǎn)時(shí)是1+2+3=6條，5個(gè)點(diǎn)時(shí)是1+2+3+4=10條，6個(gè)點(diǎn)時(shí)是1+2+3+4+5=15條，依此規(guī)律，線段的條數(shù)是從1開始加到比點(diǎn)數(shù)少1的那個(gè)數(shù)的和。所以10個(gè)點(diǎn)就有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45條。

"大家同意他的結(jié)論嗎？"同學(xué)們都點(diǎn)了點(diǎn)頭。

我乘機(jī)提出："若直線上有n個(gè)點(diǎn)呢？你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？"

"有規(guī)律。"大部分同學(xué)都很肯定。我示意他們表示出來(lái)。

n個(gè)點(diǎn)時(shí)是：1+2+3+4+……+n=n（n-1）2條。

我又進(jìn)一步問道："還有其他什么方法可得到這個(gè)結(jié)論嗎？"

沒人應(yīng)答，同學(xué)們都看著我，有的在環(huán)顧四周，看看別人能不能回答。

"我們可以這樣考慮，只要確定了線段的兩個(gè)端點(diǎn)，就確定了一條線段，那么對(duì)于n個(gè)點(diǎn)，A1、A2、A3、A4、……、An，只需要將其中兩個(gè)點(diǎn)進(jìn)行配對(duì)，兩個(gè)點(diǎn)就確定了一條線段，所以我們只要看一下將這n個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分組配對(duì)，有多少不同的組就有多少線段。"

"對(duì)于A1點(diǎn)來(lái)說，它可以和其它的A2、A3、A4、……、An這（n-1）個(gè)點(diǎn)分別配對(duì)分組：A1A2、A1A3、A1A4、……、A1An共（n-1）組，所以就有（n-1）條線段；對(duì)于A2來(lái)說呢？分別配對(duì)分組也有類似的結(jié)論得到（n-1）組，所以也有（n-1）條線段，A3、A4、A5、……呢？這樣每個(gè)點(diǎn)都可以和其余的（n-1）個(gè)點(diǎn)分別配對(duì)分組也分別得到（n-1）條線段。"

"所以這樣n個(gè)點(diǎn)就一共可以配對(duì)分成n（n-1）組，也就是以兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)線段數(shù)一共有n（n-1）條，但是，"我停頓了一下，"這些線段有什么情況出現(xiàn)呢？"

有一個(gè)學(xué)生回答說："會(huì)重復(fù)，因?yàn)橄驛1A2與A2A1是同一條線段。"

"對(duì)的，非常正確，這樣計(jì)數(shù)線段數(shù)會(huì)重復(fù)一次，所以真正有的線段數(shù)是n（n-1）2條。"

學(xué)生恍然大悟。

我接著說："其實(shí)兩種方法都不錯(cuò)，運(yùn)用第二種解釋的方法來(lái)計(jì)數(shù)，有些時(shí)候是很方便的，我們來(lái)舉幾個(gè)例子."我給出了以下幾個(gè)問題。

（1）平面上有3個(gè)點(diǎn)，過其中兩點(diǎn)畫直線，最多可畫幾條直線？4個(gè)點(diǎn)？5個(gè)點(diǎn)？n個(gè)點(diǎn)呢？

（2）如圖，從O點(diǎn)出發(fā)畫n條射線，那么圖中共有多少個(gè)小于平角的角？

（3）如圖，圖中有多少個(gè)三角形？我的問題一拋出，同學(xué)們馬上七嘴八舌議論開了。一個(gè)同學(xué)已經(jīng)驚奇地叫道：結(jié)果是一樣的，都是n（n-1）2。

我巡視了一圈，發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)都找到了答案。

"下面有幾個(gè)練習(xí)，看看你能做嗎？"我給出了幾個(gè)練習(xí)：

（1）平面上4條直線最多把平面分成幾個(gè)區(qū)域？5條呢？

（2）平面上有10個(gè)點(diǎn)，則最多可以畫出幾條直線？

以其中任一點(diǎn)為端點(diǎn)，通過另外一點(diǎn)的射線有幾條？

100個(gè)點(diǎn)呢？

（3）如圖，共有_____個(gè)長(zhǎng)方形。

從練習(xí)情況看，還不錯(cuò)。 我乘機(jī)說道："類似的問題在我們平時(shí)的學(xué)習(xí)中還有嗎？你能舉出其他的例子嗎？請(qǐng)你在你的草稿本上寫出來(lái)。"

學(xué)生就忙開了……

一段時(shí)間后，我看時(shí)間也差不多了，就說："大家現(xiàn)在停下來(lái)，現(xiàn)在我們一起來(lái)看看同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些類似的問題？"很多同學(xué)馬上舉起了手。

接下來(lái)課堂成了學(xué)生的成果展示會(huì)。

"平面內(nèi)有n條直線，若它們兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？答案也是n（n-1）2個(gè)。"

"全班45個(gè)同學(xué)互相握一次手，一共要握（45×44）/2次手，如果是n個(gè)人就是n（n-1）2次。"

"n個(gè)球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，每個(gè)隊(duì)都要和其他隊(duì)賽一場(chǎng)，一共要賽n（n-1）2場(chǎng)。"

有一個(gè)女同學(xué)很急切一樣，她的問題是：

……

同學(xué)們的發(fā)言很踴躍，有說n個(gè)人一起喝酒，每?jī)蓚€(gè)人碰一次杯，一共要碰n（n-1）2次。

我看到這種情況重復(fù)出現(xiàn)，話鋒一轉(zhuǎn)：還有沒有特別一點(diǎn)的？

一個(gè)男同學(xué)舉手了："我說的是對(duì)角線。"

"對(duì)角線？"我停了一下，因?yàn)槲移綍r(shí)提到過對(duì)角線，但對(duì)于學(xué)生畢竟是一個(gè)新概念。我說："你說說"。

"n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)可以向除它本身和左右相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)外的其余（n-3）個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)角線，一共可畫n（n-3）條，由于重復(fù)一次，所以對(duì)角線有n（n-1）2條。"

……

3.教學(xué)反思

本案例是一個(gè)內(nèi)容比較簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)內(nèi)容。從教學(xué)效果來(lái)看，是成功的。

在這一個(gè)探究的環(huán)節(jié)，達(dá)成了以下兩個(gè)教學(xué)目標(biāo)：①在具體情境中，掌握該類計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)方法。②通過對(duì)具體問題的分析，找出該類問題的數(shù)學(xué)模型。探究環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是掌握該類計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)方法。學(xué)生探究的難點(diǎn)是通過對(duì)具體問題的分析，認(rèn)識(shí)到具體問題所在的數(shù)學(xué)模型。

為了更好地突破難點(diǎn)，我首先在設(shè)計(jì)上盡量拋開以前的講授式。而是充分利用學(xué)生參與學(xué)習(xí)和探討的熱情，讓學(xué)生充分發(fā)表意見，通過對(duì)問題的爭(zhēng)論與討論，達(dá)到對(duì)知識(shí)的深入理解。因此，探究環(huán)節(jié)的開始，我首先從一類最簡(jiǎn)單，最常見的問題出發(fā)引入，從學(xué)生的知識(shí)最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行提問，一步步發(fā)散展開，最后讓學(xué)生尋找學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的相同數(shù)學(xué)模型的問題來(lái)達(dá)到鞏固知識(shí)的理解。

教學(xué)過程中采用讓學(xué)生討論的形式，以學(xué)生自主探究與合作學(xué)習(xí)，教師組織、引導(dǎo)的方式進(jìn)行，并對(duì)問題的實(shí)際數(shù)學(xué)模型加以深入，讓學(xué)生能對(duì)知識(shí)舉一反三。實(shí)踐證明，這個(gè)探究環(huán)節(jié)的實(shí)施是成功的。

但仍然有以下問題值得探討：（1）本堂課在課堂開始用第二種方法分析線段條數(shù)得到計(jì)數(shù)結(jié)果為n（n-1）2，仍然是以教師講解為主，沒有完全放手讓學(xué)生自己探究獲得。

（2）課中一些好的做法值得借鑒，課堂上能放手真正的讓學(xué)生參與到自主探究的學(xué)習(xí)中去，這也是今后教學(xué)應(yīng)提倡的做法。

（3）如何充分發(fā)揮學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，讓每個(gè)學(xué)生都積極動(dòng)起來(lái)，全體參與，共同提高，而不僅僅是少數(shù)人討論，也是今后教學(xué)中值得注意的問題。

本堂課的內(nèi)容看似比較簡(jiǎn)單，但要求低年級(jí)學(xué)生對(duì)這一 數(shù)學(xué)模型有一個(gè)深入的理解，以達(dá)到對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通具有一定的難度，筆者深切地感受到，讓學(xué)生主動(dòng)地探究與體會(huì)其內(nèi)在的數(shù)學(xué)模型是這堂課是否成功的關(guān)鍵。實(shí)踐證明，學(xué)生自己探究并發(fā)現(xiàn)的知識(shí)記得更牢，并能靈活運(yùn)用。