圖上具有可變指數反應項的波動方程解的爆破

許　璐，辛　巧

(伊犁師范學院數學與統(tǒng)計學院，新疆伊寧 835000)

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圖上具有可變指數反應項的波動方程解的爆破

許璐，辛巧

(伊犁師范學院數學與統(tǒng)計學院，新疆伊寧 835000)

[摘要]本文利用能量方法，討論帶有可變指數反應項的波動方程解的爆破性質，并給出解的爆破時間的上界估計。

[關鍵詞]波動方程；爆破；變指數；反應項

偏微分方程解的爆破現(xiàn)象及其解的漸近行為是偏微分方程研究的重要內容，而其爆破行為存在于非常多類型的偏微分方程，如Schr?dinger方程、半線性熱傳導方程、多孔介質方程、Ginzburg-Landau方程和波動方程[1-3].圖上的偏微分方程可以看作連續(xù)型的偏微分方程的數值模擬，應用于圖像處理、分子擾動和動力系統(tǒng)等領域[4-5]，對其解的漸近行為的研究已得到了國內外越來越多學者的關注[6-10].本文主要討論如下圖上具有可變指數反應項的波動方程解的爆破行為和爆破時間的上界估計.

(1)

其中，初值條件u1(x),u2(x)≥0，并且不恒等于零.

在文獻[11]中，作者引入了圖上微積分，并討論其上的調和方程的性質及其反傳導問題.設G表示一個有限、簡單、連通圖，其中V=S∪?S表示圖G頂點的集合，S和?S是頂點集V的兩個不相交的子集，分別稱為V的內部和邊界；E表示圖G的邊集；ω∶V×V→[0,+∞)表示定義在圖G邊上的權重函數，且滿足：(a)對于任意的x∈V，有ω(x,x)=0；(b)對于任意的x,y∈V，若x～y，則有ω(x,y)=ω(y,x)>0；(c)邊(x,y)?E，則有ω(x,y)=0.其中x～y表示圖G的頂點x,y存在一條邊，也可表示為(x,y)∈E.

本文中關于圖上的函數的積分和ω-Laplacian算子的定義和符號主要參考文獻[10].

下面討論解的爆破性質，在此之前，先給出兩個引理.

證明設η(t)=∫x∈Suφ，由格林公式可得

η″(t)=∫x∈Suttφ=∫x∈SφΔωu+∫x∈Sφup(x)=-λ1η+∫x∈Sφup(x).

(2)

下面討論上述等式的第二項∫x∈Sφup(x).

對于任意固定的t>0，設Su≥1={x|x∈S,u(x,t)≥1} ，Su<1={x|x∈S,u(x,t)<1}，則有

∫x∈Sφup(x)=∫Su≥1φup(x)+∫Su<1φup(x)≥∫Su≥1φup-

=∫Su≥1φup-+∫Su<1φup--∫Su<1φup-

(3)

=∫Sφup--∫Su<1φup-≥∫Sφup--N.

此外，由Jensen不等式，可知

(4)

聯(lián)合不等式(2)、(3)、(4)可知

η″(t)≥-λ1η+cηp--N.

(5)

其中，c是正常數，N=|S|表示圖G內部頂點的個數.

因為η(0)=∫x∈Su1φ>0,η′(0)=∫x∈Su2φ>0.此外，由于p->1,當η(0)足夠大時，可使-λ1η(0)+cηp-(0)-N>0.如果再假設函數h(s)=-λ1s+csp--N,容易驗證，當s≥η(0)時，h(s)單調遞增，即知s≥η(0),有h(s)>0.綜上可知，微分不等式(5)滿足引理2的條件，由引理2可知η′(t)>0，且t≤

另一方面，還有η(t)=∫x∈Suφ≤‖u(x,t)‖∞∫x∈Sφ=‖u(x,t)‖∞,所以u(x,t)在有限時間爆破.

綜上所述，本文討論了圖上的帶有可變指數反應項的波動方程解的爆破行為，得到了解的爆破時間的上界估計.事實上，本文的方法還可以用于帶有非局部項的波動方程解的爆破研究.

[參考文獻]

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[12]Chung F R K.Spectral graph theory[M].Providence:American Mathematical Society,1997.

Blow-up of the Wave Equation with Variable Source on Finite Graphs

XU Lu, XIN Qiao

(College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang 835000, China)

Abstract:By the energy method, we mainly discuss the blow-up of the wave equation with variable source, and also give the upper bound of the blow-up time.

Key words:wave equation; blow-up; variable exponent; reaction term

[收稿日期]2016-03-07

[基金項目]新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金項目“圖上的偏微分方程解的性質研究”(201442137-30)。

[作者簡介]許璐(1986- )，女，助教，碩士，從事偏微分方程理論研究。

[通訊作者]辛巧(1981- )，男，副教授，博士，從事偏微分方程及其應用研究。

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)06-0006-03