具有免疫反應(yīng)的時(shí)滯HIV模型的穩(wěn)定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

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具有免疫反應(yīng)的時(shí)滯HIV模型的穩(wěn)定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

[摘要]本文建立了具有免疫反應(yīng)的時(shí)滯HIV動(dòng)力學(xué)模型，討論了系統(tǒng)解的非負(fù)性和有界性，最后通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，應(yīng)用LaSalle不變?cè)恚C明了無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

[關(guān)鍵詞]病毒感染；全局穩(wěn)定性；免疫反應(yīng)；李雅普諾夫函數(shù)

1建立模型

目前，傳染病仍然是人類身體健康的一大公敵，因?yàn)橐恍﹤魅静鞑ニ俣戎欤苯佑绊懙饺祟惖纳婧桶l(fā)展.人類免疫缺陷病毒HIV是一種感染人類免疫系統(tǒng)細(xì)胞的慢性病毒，屬于反轉(zhuǎn)錄病毒的一種.1983年，人類免疫缺陷病毒在美國(guó)首次被發(fā)現(xiàn)，該病毒破壞人體的免疫能力，導(dǎo)致免疫系統(tǒng)失去抵抗力，從而導(dǎo)致各種疾病得以在人體內(nèi)生存，發(fā)展到最后就導(dǎo)致艾滋病.HIV主要攻擊人體的輔助T淋巴細(xì)胞系統(tǒng)，一旦侵入機(jī)體細(xì)胞，病毒將會(huì)和細(xì)胞整合在一起終生難以消除.因此，建立傳染病的動(dòng)力學(xué)模型，研究其發(fā)病原因和流行規(guī)律，尤其是找尋相應(yīng)的防治措施和預(yù)防策略，已然成為當(dāng)今世界迫切解決的一個(gè)重大問(wèn)題.目前，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者在這方面做了大量的研究[1-8].為了描述易感染細(xì)胞、感染細(xì)胞以及病毒顆粒之間的關(guān)系，早在1996年，學(xué)者就建立了如下基本的病毒動(dòng)力學(xué)模型[4]：

(1)

其中，x,y,z分別表示易感染細(xì)胞、受感染細(xì)胞以及病毒顆粒的數(shù)量.感染細(xì)胞的產(chǎn)生速率是常數(shù)λ，死亡速率為ax，易感染細(xì)胞被感染的速率為βxz，受感染細(xì)胞的死亡率為by.被感染細(xì)胞死亡后，以速率cy產(chǎn)生病毒顆粒，病毒顆粒的死亡率為dz.所有系數(shù)為正.

考慮到病毒產(chǎn)生時(shí)存在時(shí)滯，并且對(duì)于細(xì)胞的感染率多考慮的是雙線性函數(shù)，因此，文獻(xiàn)[6]建立了如下的時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型：

(2)

然而，要為病毒感染提供更精確的模型，考慮免疫反應(yīng)必不可少.免疫系統(tǒng)中對(duì)病毒感染有影響的兩個(gè)主要反應(yīng)是細(xì)胞免疫和體液免疫. 細(xì)胞免疫中毒性T淋巴細(xì)胞在病毒防御中起著關(guān)鍵的作用， 因?yàn)槎拘訲淋巴細(xì)胞可以攻擊并殺死被感染細(xì)胞，而體液免疫是基于B細(xì)胞產(chǎn)生的抗體來(lái)攻擊并殺死被感染細(xì)胞.在一些病毒感染中，文獻(xiàn)[7-8]表明，細(xì)胞免疫比體液免疫效果更好.本文在模型(2)的啟發(fā)下，建立了如下考慮CTL的免疫作用的時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型：

(3)

2基本性質(zhì)

假設(shè)系統(tǒng)(3)的初值為

x0=x(0)>0,y0=y(0)≥0,v0=v(0)≥0,z0=z(0)≥0.

根據(jù)泛函微分方程的基本理論，在上述初始條件下可得如下結(jié)論.

定理1在上述初始條件下，系統(tǒng)(3)的所有解都是非負(fù)的，并且一致有界，即存在M>0,使得x(t)

證明解由系統(tǒng)(3)的每一個(gè)方程，得到

顯然x(t)>0,z(t)≥0.若y(t)>0,則有v(t)>0成立.下面證明y(t)>0.

=s-de(t).

3無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

結(jié)合系統(tǒng)(3)，有

4結(jié)論

本文討論了一類具有免疫反應(yīng)的時(shí)滯HIV動(dòng)力學(xué)模型，給出了在給定的初始條件下模型解的非負(fù)性和有界性. 最后利用Lyapunov函數(shù)方法，應(yīng)用LaSalle不變?cè)恚C明了當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

[參考文獻(xiàn)]

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[2]Cuifang Lv,Lihong Huang,Zhaohui Yuan.Global stability for an HIV-1 infection model with Beddington-DeAngelis incidence rate and CTL immune response[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2014, 19(1):121-127.

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[5]眭鑫,劉賢寧,周林.具有潛伏細(xì)胞和CTL免疫反應(yīng)的HIV模型的穩(wěn)定性分析[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2012,34(5):23-27.

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[7]Xiaohong Tian,Rui Xu.Global stability and Hopf bifurcation of an HIV-1 infection model with saturation incidence and delayed CTL immune response[J].Applied Mathematics and Computation,2014,237(15): 146-154.

[8]李素梅,羅勇,胡亦鄭.一類考慮CTL免疫反應(yīng)的病毒動(dòng)力學(xué)模型的定性分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,28(1):164-168.

The Stability of a Delay HIV Dynamics Model with Immune Response

TIAN Hai-yan, GUO Jian-min, GUO Cai-xia

(School of Mathematics and Computer Science, Datong University, Datong Shanxi 037009, China)

Abstract:In this paper,we built a delay HIV dynamics model with immune response.By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle，we have proven that the infection-free equilibrium is globally asymptotically stable.

Key words:virus infection; global stability; immune response; Lyapunov function

[收稿日期]2016-03-11

[基金項(xiàng)目]國(guó)家青年科學(xué)基金項(xiàng)目“糾纏及糾纏之外的量子關(guān)聯(lián)刻畫”(11301312)；山西大同大學(xué)青年科學(xué)基金項(xiàng)目“分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問(wèn)題解的存在性”(2014Q10)；山西大同大學(xué)青年科學(xué)基金“高階時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性與漸進(jìn)性研究”(2015K5)。

[作者簡(jiǎn)介]田海燕(1984- )，女，助教，從事微分方程研究。

[中圖分類號(hào)]O175

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-7602(2016)06-0009-04