重整化群在一個擬線性時滯奇攝動初邊值問題中的應用

張艷妮

(吉林建筑大學城建學院，吉林長春 130112)

?

重整化群在一個擬線性時滯奇攝動初邊值問題中的應用

張艷妮

(吉林建筑大學城建學院，吉林長春 130112)

[摘要]本文利用重整化群方法研究一類擬線性時滯奇攝動初邊值問題，得到了其一階漸近展開解，結果表明利用這種方法得到的結果是有效的。

[關鍵詞]重整化群；奇異攝動；時滯方程

近年來,重正化群方法被成功地運用到各種奇異攝動問題[1].重正化群方法在處理奇異攝動問題時，比傳統的方法更簡單、有效：一方面，構造漸近展式時，不需要對攝動序列作特別的假設，也不用漸近匹配，就能生成自適用于問題的漸近序列；另一方面，可獲得比傳統方法更有效、更精確的解的全局信息.但是，對于時滯方程的奇攝動問題[2-3]，一直都是奇攝動問題的難點.本文通過分段考慮，將一個時滯方程的奇攝動問題轉化為兩個常微分方程的奇攝動問題，進而利用重整化群方法，得到原問題的一個漸近解.

本文考慮如下擬線性問題：

(1)

其中，1>>μ>0是小參數.

首先，將原問題等價化為下面兩個左右問題：

左問題，0≤t≤1,

右問題，1≤t≤2,

假設問題(6)(7)有如下展開式

(8)

將(8)代入(6)中，并比較等式兩端μ的同次冪的系數，得到

解(9)得到

(11)

其中，A0,A1是常數，由初值條件確定.將(11)代入(10)，易解得

(12)

則左問題的一階近似解(實際上也是精確解)為

Y(-)=A0+A1e-τ+μτ.

(13)

由初值條件(7)可得A0+A1=1，這里為方便計算，我們取A0=2,A1=-1.

由(16)可得

(18)

其中，φ(s)=∫se-2τ-e-τdτ=e-e-s(e-s+1),B0,B1是待定常數.將(18)代入(17)，由Lagrange常數變異公式，得(17)的一個特解

=φ(s)∫se2τ+e-τ-B1τdτ-∫se2τ+eτ-B1τe-e-τ(e-τ+1)dτ.

從而右問題的一階形式解為

(19)

(20)

然后，令B0=(1+b0μ)B0(σ),B1=(1+b1μ)B1(σ),只需取

于是，展開式(20)化為

從而，可得RG方程

進而，由方程(21)和(22)解得

從而，可得到原問題(1)的一階漸近解：

本文通過重整化群方法給出了一個擬線性時滯奇攝動初邊值問題的一階漸近解，結果表明是可行的.不難注意到，在(14)中，當作尺度變換時出現了含“μs”的項，這也正是右問題計算繁瑣的原因，能否有更簡單的方法來處理這一項，是值得我們進一步討論的問題.

[參考文獻]

[1]奈弗.攝動方法[M].王輔俊,等,譯,上海:上海科學技術出版社,1984.

[2]Hale.J.Theory of Functional Differentional Equations[M].Springer-Verlag,New York-Heidelberg,1977.

[3]汪娜.時滯奇攝動問題內部層現象研究[D].上海:華東師范大學,2012.

The Renormalization Group Method Applied in a Quasi-linear Singularly Perturbed Differential Equation with Initial Values and Boundary Values

ZHANG Yan-ni

(Jilin Architectural University Urban Construction College,Changchun Jilin 130112,China)

Abstract:This paper presents an uniformly valid asymptotic expansion for a quasi-linear singularly perturbed difference equation with initial values and boundary values via renormalization group method. And the results show that our method is effective.

Key words:renormalization group; singular perturbation; delayed differential equation

[收稿日期]2016-01-02

[作者簡介]張艷妮(1982- )，女，助教，碩士，從事常微分方程研究。

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)06-0013-03