拉格朗日中值定理中值點的確定與漸進性*

李治遠

(云南大學 數學與統計學院，云南 昆明 650500)

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拉格朗日中值定理中值點的確定與漸進性*

李治遠

(云南大學 數學與統計學院，云南 昆明 650500)

摘要:文章先對幾類初等函數的拉格朗日中值定理中值點進行討論，然后又過渡到對一般的連續可導函數中值點的漸進性討論.

關鍵詞:拉格朗日中值定理；中值點；漸進性

拉格朗日中值定理的使用非常普遍，但是它只肯定了中值點的存在性，中值點的位置并沒有被具體確定.本文總結了幾類初等函數的拉格朗日中值定理中值點的確定方法，并在此基礎上探討了從低階可導到高階可導函數的拉格朗日中值點的漸進性質.這讓我們對拉格朗日中值定理有了更深一步的認識與理解.中值點的確定方法以及漸進性質在實際應用中也是非常重要的.

1初等函數拉格朗日中值定理中值點確定

定理1對任意的冪函數f(x)=xn(n>0),x∈[a,b]，其中0

推論1對任意的冪函數f(x)=xn(n<0),x∈[a,b]，其中0

定理2對任意的指數函數f(x)=μx(μ>0,μ≠1)，其中x∈[a,b].若θ滿足

定理4對任意三角函數f(x)=sinx，x∈[a,b]，若θ滿足

2拉格朗日中值定理中值點的漸進性

證明由泰勒公式，得

f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+

由拉格朗日中值定理，有

f'(ξ)(b-a)

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+

f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+

由拉格朗日中值定理有

證明由泰勒公式和定理條件，得

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+

于是有

f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+

由拉格朗日中值定理，得

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]吳良森.數學分析習題精解[M].北京:科學出版社,2001.

[3]吉米多維奇.數學分析習題集題解[M].濟南:山東科學技術出版社,2001.

(責任編輯:陳衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.06.010

*收稿日期：2015-10-12

基金項目：國家自然科學基金“復雜數據下眾數回歸模型的變量選擇及統計診斷研究”(11561075)

作者簡介：李治遠,河南信陽人,云南大學數學與統計學院在讀碩士.

中圖分類號：O171

文獻標志碼：A

文章編號：1008-7974(2016)03-0027-02