低維約當D-雙代數的性質*

杜麗華，王　紅

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連116029)

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低維約當D-雙代數的性質*

杜麗華，王紅

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連116029)

摘要:主要研究低維約當D-雙代數及其基本性質,它們是在約當代數的基礎上得到的.首先找到上邊界約當D-雙代數的構造方法以及低維約當代數的分類,計算了這類約當代數上Yang-Baxter方程的張量形式的解.然后利用約當代數的配對可以得到每一類約當代數上對應的上邊界約當D-雙代數的代數運算,從而得到了低維上邊界約當D-雙代數的分類.

關鍵詞:約當代數；約當D-雙代數；約當Yang-Baxter方程

上世紀30年代,物理學家P.Jordan在研究量子力學時給出了約當代數的概念,從此約當代數走上了歷史舞臺.隨著科技的發展,約當代數很快成為一個獨立的代數體系并滲透到其他領域,除了在數學中有許多應用,在其他方面的應用也有很多,例如量子力學、量子群等等.本文主要討論它的基本問題,例如約當D-雙代數.本文利用約當Yang-Baxter方程,在經典Yang-Baxter方程的基礎上,對于每一類約當代數找到約當Yang-Baxter方程的一個反對稱解,在約當D-雙代數結構的基礎上,得到2、4、6維上邊界約當D-雙代數的分類.

1基礎知識

定義1設J是域F上的線性空間,J中定義乘法運算:(x,y)→x?y,若滿足下面的等式

x?y=y?x

(1)

((x?x)?y)?x=(x?x)?(y?x)

(2)

(?x,y∈J)，則稱J是域F上的一個約當代數.

定義2(J,?)是一個約當代數,V是域F上的線性空間,如果線性映射ρ:J→gl(V)滿足下面的方程

[ρ(x),ρ(y?z)]+[ρ(y),ρ(z?x)]+

[ρ(z),ρ(x?y)]=0

ρ(x)ρ(y)ρ(z)+ρ(z)ρ(y)ρ(x)+ρ((x?z)?y)=

ρ(x)ρ(y?z)+ρ(y)ρ(z?x)+ρ(z)ρ(x?y)

其中，x,y,z,u∈J,[ρ(x),ρ(y)]=ρ(x)ρ(y)-ρ(y)ρ(x).則ρ是J的一個表示或一個模,記為(ρ,V)或ρ.

定義4設(J,?)是一個約當代數,如果線性映射Δ:J→J?J滿足下面三個條件:

(1)Δ是對稱的(或交換的),即Δ(x)=σ(Δ(x)),?x∈J;

(2)Δ*:J*?J*→J*定義了線性空間J*上的一個約當代數結構;

(3)Δ滿足,

Δ((x?y)?z)+(y?1)?((z?1)?Δ(x))+

(1?y)?((1?z)?Δ(x))+

(x?1)?((z?1)?Δ(y))+

(1?x)?((1?z)?Δ(y))+

(x?y+y?x)?Δ(z)=

(x?1)?Δ(y?z)+(y?1)?Δ(z?x)+

(z?1)?Δ(x?y)+(1?(y?z))?Δ(x)+

(1?(z?x))?Δ(y)+(1?(x?y)?Δ(z));

(3)

(Δ?id)((x?1)?Δ(y))+

(id?Δ)((1?x)?Δ(y))+

(σ?id)((id?Δ)((1?x)?(y)))+

(Δ?id)((1?y)?Δ(x))+

(id?Δ)((y?1)?Δ(x))+

(σ?id)((id?Δ)((y?1)?Δ(x)))=

(Δ?id)Δ(x?y)+

(1?x?1)?((id?Δ)Δ(y))+

(1?y?1)?((id?Δ)Δ(x))+

(x?1?1)?((id?σ)((Δ?id)Δ(y)))+

(y?1?1)?((id?σ)((Δ?id)Δ(x)))+

(1?Δ(x))?((id?σ)((Δ(y)?1)))+

(1?Δ(y))?((id?σ)((Δ(x)?1))).

(4)

則稱該線性映射是一個約當D-雙代數結構,記為(J,Δ)或(J,J*).

Δ(x)=(rg?(x)?id-id?rg?(x))r=

(5)

則約當D-雙代數(J,Δ)稱為上邊界約當D-雙代數.

定義6設(J,?)是一個約當代數,r∈J?J,方程(6)稱為J上的約當Yang-Baxter方程,簡記為JYBE.它也稱為經典的Yang-Baxter方程在約當代數上的“約當代數類似”.

定理1設(J,?)是一個約當代數,r∈J?J.若r是反對稱的,且[[r,r]]=0，其中,

[[r,r]]=r12?r13-r12?r23+r13?r23

(6)

則Δ:J→J?J可以誘導出J*上的一個約當D-雙代數結構(J,Δ).

命題1設(J,?)是一個約當代數,r∈J?J是J上的約當Yang-Baxter方程的一個反對稱解,則約當雙代數D(J)上的約當代數結構“*”由如下關系給出.

a**b*=rg?*(r(a*))b*+rg?*(r(b*))a*,

?a*,b*∈J*

(7)

x*a*=x?r(a*)-r(rg?*(x)a*)+rg?*(x)a*,

?x∈J,a*∈J*

(8)

2低維約當D-雙代數

(9)

同理可得:

(10)

設r是J上的約當Yang-Baxter方程的一個反對稱解,則rij=-rji,于是

(11)

命題21維約當代數有兩類R1,R2,其中,R1:e*e=e;R2:e*e=0.

3所得結果

定理22維上邊界約當D-雙代數的分類如下:

證明由(9)式和(10)式即可得出結論.

命題32維約當代數的分類如下:

定理34維上邊界約當D-雙代數的分類如下:

(1)對于B1:r矩陣為r=0.對應約當雙D-代數中代數運算如下:

命題43維約當代數的分類如下,

e1e2=e2,e1e3=e3,e2e3=0;

e1e2=e2,e1e3=e3,e2e3=0;

e1e2=e3,e1e3=0,e2e3=0;

e1e2=0,e1e3=e2,e2e3=0;

定理46維上邊界約當D-雙代數分類如下

(1)對于J1:r矩陣r=0,對應約當D-雙代數中代數運算如下:

(5)對于J5:r矩陣r=0,對應約當D-雙代數中代數運算如下:

(8)對于J8:r矩陣r=0,對應約當D-雙代數中代數運算如下:

(9)對于J9:r矩陣r=0對應約當D-雙代數中代數運算如下:

同理可算得其余9種情況.

參考文獻：

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[6]C M Bai. A unified algebraic approach to the classical Yang Baxter equation[J]. J. Phy. A: Math. Gen, 2007, 40(36): 11073-11082.

(責任編輯:陳衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.06.012

*收稿日期：2015-11-20

基金項目：遼寧省自然科學基金項目(20140428)

作者簡介：杜麗華,山東濟寧人,遼寧師范大學數學學院在讀碩士．

中圖分類號：O151.2

文獻標志碼：A

文章編號：1008-7974(2016)03-0032-04